преобразование Кельвина

Преобразование Кельвина — это устройство, используемое в классической теории потенциала для расширения концепции гармонической функции , позволяя определить функцию, которая является «гармонической на бесконечности». Этот метод также используется при изучении субгармонических и супергармонических функций.

Чтобы определить преобразование Кельвина f ^* функции f , необходимо сначала рассмотреть концепцию инверсии в сфере в R ⁿ следующим образом.

Инверсию можно использовать в любой сфере, но наиболее наглядно эта идея выглядит при рассмотрении сферы с центром в начале координат.

Для фиксированной сферы S (0, R ) с центром 0 и радиусом R инверсия точки x в R ⁿ определяется как$${\displaystyle x^{*}={\frac {R^{2}}{|x|^{2}}}x.}$$

Полезным эффектом этой инверсии является то, что начало координат 0 является образом , а является образом 0. При этой инверсии сферы преобразуются в сферы, а внешняя часть сферы преобразуется во внутреннюю часть, и наоборот.${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \infty}$

Преобразование Кельвина функции тогда определяется следующим образом:

Если D — открытое подмножество Rn ^, не содержащее 0, то для любой функции f, определенной на D , преобразование Кельвина f ^* функции f относительно сферы S (0, R ) равно$${\displaystyle f^{*}(x^{*})={\frac {|x|^{n-2}}{R^{2n-4}}}f(x)={\frac {1}{|x^{*}|^{n-2}}}f(x)={\frac {1}{|x^{*}|^{n-2}}}f\left({\frac {R^{2}}{|x^{*}|^{2}}}x^{*}\right).}$$

Одним из важных свойств преобразования Кельвина и основной причиной его создания является следующий результат:

Пусть D — открытое подмножество в Rn ^, не содержащее начало координат 0. Тогда функция u является гармонической, субгармонической или супергармонической в ​​D тогда и только тогда, когда преобразование Кельвина u ^* относительно сферы S (0, R ) является гармоническим, субгармоническим или супергармоническим в D ^* .

Это следует из формулы$${\displaystyle \Delta u^{*}(x^{*})={\frac {R^{4}}{|x^{*}|^{n+2}}}(\Delta u)\left({\frac {R^{2}}{|x^{*}|^{2}}}x^{*}\right).}$$

• Уильям Томсон, 1-й барон Кельвин
• Инверсионная геометрия
• Преобразование сферической волны

• Уильям Томсон, лорд Кельвин (1845) «Extrait d'une lettre de M. William Thomson à M. Liouville», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 10: 364–7
• Уильям Томпсон (1847) «Отрывки из двух писем, адресованных М. Лиувиллю, от М. Уильяма Томсона», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 12: 556–64
• JL Doob (2001). Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог . Springer-Verlag. стр. 26. ISBN 3-540-41206-9.
• LL Helms (1975). Введение в теорию потенциала . RE Krieger. ISBN 0-88275-224-3.
• О. Д. Келлог (1953). Основы теории потенциала . Довер. ISBN 0-486-60144-7.
• Джон Вермер (1981) Теория потенциала 2-е издание, стр. 84, Lecture Notes in Mathematics #408 ISBN 3-540-10276-0