Лемма Келли

В теории вероятностей лемма Келли утверждает, что для стационарной непрерывной во времени цепи Маркова процесс, определяемый как процесс, обращенный во времени, имеет то же стационарное распределение, что и процесс, направленный вперед во времени. ^[1] Теорема названа в честь Фрэнка Келли . ^{[2] [3] [4] [5]}

Для непрерывной по времени цепи Маркова с пространством состояний S и матрицей скоростей переходов Q (с элементами q _ij ), если мы можем найти набор неотрицательных чисел q' _ij и положительную меру π , которые удовлетворяют следующим условиям: ^[1]

${\displaystyle {\begin{align}\sum _{j\in S}q_{ij}&=\sum _{j\in S}q'_{ij}\quad \forall i\in S\\\пи _{i}q_{ij}&=\пи _{j}q_{ji}'\quad \forall i,j\in S,\end{align}}}$

тогда q' _ij — скорости обратного процесса, а π пропорционально стационарному распределению для обоих процессов.

Учитывая сделанные предположения относительно q _ij и π, имеем

${\displaystyle \sum _{i\in S}\pi _{i}q_{ij}=\sum _{i\in S}\pi _{j}q'_{ji}=\pi _{j}\sum _{i\in S}q'_{ji}=\pi _{j}\sum _{i\in S}q_{ji}=\pi _{j},}$

поэтому уравнения глобального баланса удовлетворяются, а мера π пропорциональна стационарному распределению исходного процесса. По симметрии тот же аргумент показывает, что π также пропорциональна стационарному распределению обратного процесса.