Теорема Качуровского

В математике теорема Качуровского — теорема, связывающая выпуклость функции на банаховом пространстве с монотонностью ее производной Фреше .

Пусть K — выпуклое подмножество банахова пространства V и пусть f  :  K  →  R  ∪ {+∞} — расширенная вещественная функция , дифференцируемая по Фреше с производной d f ( x ) :  V  →  R в каждой точке x из K . (На самом деле, d f ( x ) — элемент непрерывного сопряженного пространства V ^∗ .) Тогда следующие условия эквивалентны:

• f — выпуклая функция;
• для всех x и y в K ,

${\ displaystyle \ mathrm {d} е (х) (yx) \ leq f (y) -f (x);}$

• d f — (возрастающий) монотонный оператор, т.е. для всех x и y в K ,

${\displaystyle {\big (}\mathrm {d} f(x)-\mathrm {d} f(y){\big )}(xy)\geq 0.}$

• Качуровский, Р.И. (1960). «О монотонных операторах и выпуклых функционалах». Успехи мат. Наук . 15 (4): 213–215.
• Showalter, Ralph E. (1997). Монотонные операторы в банаховом пространстве и нелинейные уравнения в частных производных . Математические обзоры и монографии 49. Providence, RI: American Mathematical Society. стр. 80. ISBN 0-8218-0500-2. MR 1422252 (Предложение 7.4)