Теорема Кёнига (кинетика)

В кинетике теорема Кёнига или разложение Кёнига — это математическое соотношение, выведенное Иоганном Самуэлем Кёнигом , которое помогает вычислять момент импульса и кинетическую энергию тел и систем частиц.

Теорема делится на две части.

Первая часть выражает момент импульса системы как сумму момента импульса центра масс и момента импульса, приложенного к частицам относительно центра масс . ^[1]

${\displaystyle \displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}_{CoM}\times \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}_{CoM}+ {\vec {L}}'={\vec {L}}_{CoM}+{\vec {L}}'}$

Рассматривая инерциальную систему отсчета с началом O, момент импульса системы можно определить как:

${\displaystyle {\vec {L}}=\sum \limits _{i}({\vec {r}}_{i}\times m_{i}{\vec {v}}_{i})}$

Положение отдельной частицы можно выразить как:

${\displaystyle {\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{CoM}+{\vec {r}}'_{i}}$

Итак, мы можем определить скорость отдельной частицы:

${\displaystyle {\vec {v}}_{i}={\vec {v}}_{CoM}+{\vec {v}}'_{i}}$

Первое уравнение принимает вид:

${\displaystyle {\vec {L}}=\sum \limits _{i}({\vec {r}}_{CoM}+{\vec {r}}'_{i})\times m_{i }({\vec {v}}_{CoM}+{\vec {v}}'_{i})}$

${\displaystyle {\vec {L}}=\sum \limits _{i}{\vec {r}}'_{i}\times m_{i}{\vec {v}}'_{i}+\left(\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}'_{i}\right)\times {\vec {v}}_{CoM}+{\vec {r}}_{CoM}\times \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}'_{i}+\sum \limits _{i}{\vec {r}}_{CoM}\times m_{i}{\vec {v}}_{CoM}}$

Но следующие члены равны нулю:

${\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}'_{i}=0}$

${\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}'_{i}=0}$

Итак, мы доказываем, что:

${\displaystyle {\vec {L}}=\sum \limits _{i}{\vec {r}}'_{i}\times m_{i}{\vec {v}}'_{i}+M{\vec {r}}_{CoM}\times {\vec {v}}_{CoM}}$

где M — полная масса системы.

Вторая часть выражает кинетическую энергию системы частиц через скорости отдельных частиц и центра масс .

В частности, в нем говорится, что кинетическая энергия системы частиц представляет собой сумму кинетической энергии, связанной с движением центра масс , и кинетической энергии, связанной с движением частиц относительно центра масс . ^[2]

${\displaystyle K=K'+K_{\text{CoM}}}$

Полная кинетическая энергия системы равна:

${\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}}$

Как и в первой части, подставляем скорость:

${\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}|{\bar {v}}'_{i}+{\bar {v}}_{\text{CoM}}|^{2}}$

${\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}({\bar {v}}'_{i}+{\bar {v}}_{\text{CoM}})\cdot ({\bar {v}}'_{i}+{\bar {v}}_{\text{CoM}})=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v'_{i}}^{2}+{\bar {v}}_{\text{CoM}}\cdot \sum _{i}m_{i}{\bar {v}}'_{i}+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{\text{CoM}}^{2}}$

Мы это знаем, поэтому, если мы определим:${\displaystyle {\bar {v}}_{CoM}\cdot \sum _{i}m_{i}{\bar {v}}'_{i}=0,}$

${\displaystyle K'=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v'_{i}}^{2}}$

${\displaystyle K_{\text{CoM}}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{\text{CoM}}^{2}={\frac {1}{2}}Mv_{\text{CoM}}^{2}}$

у нас осталось:

${\displaystyle K=K'+K_{\text{CoM}}}$

Теорема может быть применена и к твердым телам , утверждая, что кинетическая энергия K твердого тела, наблюдаемая наблюдателем, зафиксированным в некоторой инерциальной системе отсчета N, может быть записана как:

${\displaystyle ^{N}K={\frac {1}{2}}m\cdot {^{N}\mathbf {\bar {v}} }\cdot {^{N}\mathbf {\bar {v}} }+{\frac {1}{2}}{^{N}\!\mathbf {\bar {H}} }\cdot ^{N}{\!\!\mathbf {\omega } }^{R}}$

где - масса твердого тела; - скорость центра масс твердого тела, наблюдаемая наблюдателем, зафиксированным в инерциальной системе отсчета N; - момент импульса твердого тела относительно центра масс, также взятый в инерциальной системе отсчета N; - угловая скорость твердого тела R относительно инерциальной системы отсчета N. ^[3]${\displaystyle {m}}$${\displaystyle {^{N}\mathbf {\bar {v}} }}$${\displaystyle {^{N}\!\mathbf {\bar {H}} }}$${\displaystyle ^{N}{\!\!\mathbf {\omega } }^{R}}$

• Ханно Эссен: Средняя угловая скорость (1992), Кафедра механики, Королевский технологический институт, S-100 44 Стокгольм, Швеция.
• Сэмюэл Кениг (Сэм. Кениджио): De Universali principio æquilibrii & motus, in vi viva reperto, deque nexu inter vim vivam & actionem, utriusque minimo, dissertatio , Nova acta eruditorum (1751) 125–135, 162–176 (в архиве).
• Пол А. Типлер и Джин Моска (2003), Физика для ученых и инженеров (статья): Том 1А: Механика (Физика для ученых и инженеров), WH Freeman Ed., ISBN  0-7167-0900-7

Эта статья о теоретической физике — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• v
• t
• e