Неравенство Йенсена

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Неравенство Дженсена» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике неравенство Йенсена , названное в честь датского математика Йохана Йенсена , связывает значение выпуклой функции интеграла с интегралом выпуклой функции. Оно было доказано Йенсеном в 1906 году, ^[1] основываясь на более раннем доказательстве того же неравенства для дважды дифференцируемых функций Отто Гёльдером в 1889 году. ^[2] Учитывая его общность, неравенство появляется во многих формах в зависимости от контекста, некоторые из которых представлены ниже. В своей простейшей форме неравенство утверждает, что выпуклое преобразование среднего меньше или равно среднему значению, примененному после выпуклого преобразования (или, что эквивалентно, противоположному неравенству для вогнутых преобразований). ^[3]

Неравенство Йенсена обобщает утверждение о том, что секущая выпуклой функции лежит выше графика функции , что является неравенством Йенсена для двух точек: секущая состоит из взвешенных средних значений выпуклой функции (для t  ∈ [0,1]),

${\displaystyle tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}),}$

в то время как график функции представляет собой выпуклую функцию взвешенных средних,

${\displaystyle f(tx_{1}+(1-t)x_{2}).}$

Таким образом, неравенство Йенсена в этом случае имеет вид

${\displaystyle f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).}$

В контексте теории вероятностей это обычно формулируется в следующей форме: если X — случайная величина , а φ — выпуклая функция, то

φ ( E ⁡ [ Икс ] ) ≤ E ⁡ [ φ ( Икс ) ] . {\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].}

Разница между двумя сторонами неравенства называется разрывом Йенсена. ^[4]${\displaystyle \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right]-\varphi \left(\operatorname {E} [X]\right)}$

Классическая форма неравенства Йенсена включает несколько чисел и весов. Неравенство можно сформулировать в общем виде, используя либо язык теории меры , либо (что эквивалентно) вероятности. В вероятностной постановке неравенство можно еще больше обобщить до его полной силы .

Для действительной выпуклой функции , чисел в ее области определения и положительных весов неравенство Йенсена можно сформулировать как:${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum a_{i}x_{i}}{\sum a_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum a_{i}\varphi (x_{i})}{\sum a_{i}}}}$

1

и неравенство меняется на противоположное, если является вогнутым , что${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum a_{i}x_{i}}{\sum a_{i}}}\right)\geq {\frac {\sum a_{i}\varphi (x_{i})}{\sum a_{i}}}.}$

2

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда или является линейным на области, содержащей .${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$

В частном случае, если все веса равны, то ( 1 ) и ( 2 ) становятся${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\leq {\frac {\sum \varphi (x_{i})}{n}}}$

3

${\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {\sum \varphi (x_{i})}{n}}}$

4

Например, функция log( x ) является вогнутой , поэтому подстановка в предыдущую формулу ( 4 ) устанавливает (логарифм) известного неравенства среднего арифметического/среднего геометрического :${\displaystyle \varphi (x)=\log(x)}$

$${\displaystyle \log \!\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {\sum _{i=1}^{n}\log \!\left(x_{i}\right)}{n}}}$$$${\displaystyle \exp \!\left(\log \!\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)\right)\geq \exp \!\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}\log \!\left(x_{i}\right)}{n}}\right)}$$$${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}}$$

Обычное приложение имеет x как функцию другой переменной (или набора переменных) t , то есть . Все это напрямую переносится на общий непрерывный случай: веса a _i заменяются неотрицательной интегрируемой функцией f  ( x ) , такой как распределение вероятностей, а суммы заменяются интегралами.${\displaystyle x_{i}=g(t_{i})}$ 

Пусть будет вероятностным пространством . Пусть будет -измеримой функцией и будет выпуклой. Тогда: ^[5]${\displaystyle (\Омега,А,\му)}$${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \varphi \left(\int _{\Omega}f\,\mathrm {d} \mu \right)\leq \int _{\Omega }\varphi \circ f\,\mathrm {d} \ му }$$

В реальном анализе нам может потребоваться оценка

${\displaystyle \varphi \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)}$

где , и — неотрицательная интегрируемая по Лебегу функция. В этом случае мера Лебега не обязательно должна быть единицей. Однако, путем интегрирования путем подстановки, интервал можно масштабировать так, чтобы он имел меру единицу. Затем можно применить неравенство Йенсена, чтобы получить ^[6]${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \varphi \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi (f(x))\,dx.}$

Тот же результат может быть эквивалентно сформулирован в теории вероятностей , путем простого изменения обозначений. Пусть будет вероятностным пространством , X — интегрируемой действительной случайной величиной и выпуклой функцией . Тогда:${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},\operatorname {P} )}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi \left(\operatorname {E} [X]\right)\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].}$^[7]

В этой вероятностной постановке мера μ рассматривается как вероятность , интеграл по μ — как ожидаемое значение , а функция — как случайная величина X.${\displaystyle \operatorname {P} }$ ${\displaystyle \operatorname {E} }$${\displaystyle f}$

Обратите внимание, что равенство выполняется тогда и только тогда, когда является линейной функцией на некотором выпуклом множестве, таком что (что следует из рассмотрения приведенного ниже доказательства с точки зрения теории меры).${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathrm {P} (X\in A)=1}$

В более общем случае, пусть T будет вещественным топологическим векторным пространством , а X — интегрируемой случайной величиной со значением T. В этой общей постановке интегрируемость означает, что существует элемент в T , такой что для любого элемента z в сопряженном пространстве T : , и . Тогда для любой измеримой выпуклой функции φ и любой под- σ- алгебры :${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle \operatorname {E} |\langle z,X\rangle |<\infty }$${\displaystyle \langle z,\operatorname {E} [X]\rangle =\operatorname {E} [\langle z,X\rangle ]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$

${\displaystyle \varphi \left(\operatorname {E} \left[X\mid {\mathfrak {G}}\right]\right)\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\mid {\mathfrak {G}}\right].}$

Здесь обозначает ожидание, обусловленное σ-алгеброй . Это общее утверждение сводится к предыдущим, когда топологическое векторное пространство T является вещественной осью , а является тривиальной σ -алгеброй {∅, Ω} (где ∅ — пустое множество , а Ω — выборочное пространство ). ^[8]${\displaystyle \operatorname {E} [\cdot \mid {\mathfrak {G}}]}$${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$

Пусть X — одномерная случайная величина со средним значением и дисперсией . Пусть — дважды дифференцируемая функция, и определим функцию${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}\geq 0}$${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle h(x)\triangleq {\frac {\varphi \left(x\right)-\varphi \left(\mu \right)}{\left(x-\mu \right)^{2}}}-{\frac {\varphi '\left(\mu \right)}{x-\mu }}.}$

Тогда ^[9]

${\displaystyle \sigma ^{2}\inf {\frac {\varphi ''(x)}{2}}\leq \sigma ^{2}\inf h(x)\leq E\left[\varphi \left(X\right)\right]-\varphi \left(E[X]\right)\leq \sigma ^{2}\sup h(x)\leq \sigma ^{2}\sup {\frac {\varphi ''(x)}{2}}.}$

В частности, когда выпукло, то и стандартная форма неравенства Йенсена немедленно следует для случая, когда дополнительно предполагается дважды дифференцируемым.${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle \varphi ''(x)\geq 0}$${\displaystyle \varphi (x)}$

Неравенство Йенсена можно доказать несколькими способами, и будут предложены три различных доказательства, соответствующие различным утверждениям выше. Однако, прежде чем приступить к этим математическим выводам, стоит проанализировать интуитивное графическое рассуждение, основанное на вероятностном случае, когда X — действительное число (см. рисунок). Предположив гипотетическое распределение значений X , можно сразу определить положение и его изображение на графике. Заметив, что для выпуклых отображений Y = φ ( x ) некоторых значений x соответствующее распределение значений Y все больше «растягивается» для возрастающих значений X , легко увидеть, что распределение Y шире в интервале, соответствующем X > X ₀ , и уже в X < X ₀ для любого X ₀ ; в частности, это также верно для . Следовательно, в этой картине ожидание Y всегда будет смещаться вверх относительно положения . Аналогичное рассуждение справедливо, если распределение X охватывает убывающую часть выпуклой функции или как убывающую, так и возрастающую ее часть. Это «доказывает» неравенство, т.е. ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])}$${\displaystyle X_{0}=\operatorname {E} [X]}$${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])}$

${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])\leq \operatorname {E} [\varphi (X)]=\operatorname {E} [Y],}$

с равенством, когда φ ( X ) не является строго выпуклой, например, когда она представляет собой прямую линию или когда X следует вырожденному распределению (т.е. является константой).

Приведенные ниже доказательства формализуют это интуитивное представление.

Если λ ₁ и λ ₂ — два произвольных неотрицательных действительных числа, такие, что λ ₁ + λ ₂ = 1, то выпуклость φ влечет

${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}:\qquad \varphi \left(\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}\right)\leq \lambda _{1}\,\varphi (x_{1})+\lambda _{2}\,\varphi (x_{2}).}$

Это можно обобщить: если λ ₁ , ..., λ _n — неотрицательные действительные числа, такие, что λ ₁ + ... + λ _n = 1 , то

${\displaystyle \varphi (\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\cdots +\lambda _{n}x_{n})\leq \lambda _{1}\,\varphi (x_{1})+\lambda _{2}\,\varphi (x_{2})+\cdots +\lambda _{n}\,\varphi (x_{n}),}$

для любых x ₁ , ..., x _n .

Конечную форму неравенства Йенсена можно доказать методом индукции : по гипотезе выпуклости утверждение верно для n  = 2. Предположим, что утверждение верно для некоторого n , тогда

${\displaystyle \varphi \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\varphi \left(x_{i}\right)}$

для любых λ ₁ , ..., λ _n таких, что λ ₁ + ... + λ _n = 1 .

Нужно доказать это для n + 1. По крайней мере одно из λ _i строго меньше , скажем, λ _{n +1} ; поэтому по неравенству выпуклости:${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}\right)&=\varphi \left((1-\lambda _{n+1})\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}x_{i}+\lambda _{n+1}x_{n+1}\right)\\&\leq (1-\lambda _{n+1})\varphi \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}x_{i}\right)+\lambda _{n+1}\,\varphi (x_{n+1}).\end{aligned}}}$

Поскольку λ ₁ + ... + λ _n + λ _{n +1} = 1 ,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}=1}$,

применение индуктивной гипотезы дает

${\displaystyle \varphi \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}\varphi (x_{i})}$

поэтому

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}\right)&\leq (1-\lambda _{n+1})\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}\varphi (x_{i})+\lambda _{n+1}\,\varphi (x_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}\varphi (x_{i})\end{aligned}}}$

Мы выводим, что неравенство верно для n + 1 , по индукции следует, что результат также верен для всех целых n, больших 2.

Чтобы получить общее неравенство из этой конечной формы, нужно использовать аргумент плотности. Конечную форму можно переписать как:

${\displaystyle \varphi \left(\int x\,d\mu _{n}(x)\right)\leq \int \varphi (x)\,d\mu _{n}(x),}$

где μ _n — мера, заданная произвольной выпуклой комбинацией дельта -функций Дирака :

${\displaystyle \mu _{n}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\delta _{x_{i}}.}$

Поскольку выпуклые функции непрерывны , а выпуклые комбинации дельт Дирака слабо плотны в множестве вероятностных мер (как можно легко проверить), общее утверждение получается просто с помощью предельной процедуры.

Пусть будет вещественнозначной -интегрируемой функцией на вероятностном пространстве , и пусть будет выпуклой функцией на вещественных числах. Поскольку является выпуклой, при каждом вещественном числе мы имеем непустое множество субпроизводных , которые можно рассматривать как линии, касающиеся графика в , но которые находятся ниже графика во всех точках (опорные линии графика).${\displaystyle g}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi }$

Теперь, если мы определим

${\displaystyle x_{0}:=\int _{\Omega }g\,d\mu ,}$

из-за существования субпроизводных для выпуклых функций мы можем выбрать и такие, что${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle ax+b\leq \varphi (x),}$

для всех реальных и${\displaystyle x}$

${\displaystyle ax_{0}+b=\varphi (x_{0}).}$

Но тогда у нас есть это

${\displaystyle \varphi \circ g(\omega )\geq ag(\omega )+b}$

для почти всех . Поскольку у нас есть вероятностная мера, интеграл монотонен с так что${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \mu (\Omega )=1}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\varphi \circ g\,d\mu \geq \int _{\Omega }(ag+b)\,d\mu =a\int _{\Omega }g\,d\mu +b\int _{\Omega }d\mu =ax_{0}+b=\varphi (x_{0})=\varphi \left(\int _{\Omega }g\,d\mu \right),}$

по желанию.

Пусть X — интегрируемая случайная величина, принимающая значения в действительном топологическом векторном пространстве T. Поскольку является выпуклой, для любого величина${\displaystyle \varphi :T\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x,y\in T}$

${\displaystyle {\frac {\varphi (x+\theta \,y)-\varphi (x)}{\theta }},}$

уменьшается по мере того, как θ приближается к 0 ⁺ . В частности, субдифференциал оценки в точке x в направлении y хорошо определяется выражением${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle (D\varphi )(x)\cdot y:=\lim _{\theta \downarrow 0}{\frac {\varphi (x+\theta \,y)-\varphi (x)}{\theta }}=\inf _{\theta \neq 0}{\frac {\varphi (x+\theta \,y)-\varphi (x)}{\theta }}.}$

Легко видеть, что субдифференциал линеен по y ^{[ требуется ссылка ]} (это неверно, и утверждение требует доказательства теоремы Хана-Банаха) и, поскольку инфимум, взятый в правой части предыдущей формулы, меньше значения того же члена при θ = 1 , получаем

${\displaystyle \varphi (x)\leq \varphi (x+y)-(D\varphi )(x)\cdot y.}$

В частности, для произвольной под- σ -алгебры можно оценить последнее неравенство, получив${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$${\displaystyle x=\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}],\,y=X-\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}]}$

${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\leq \varphi (X)-(D\varphi )(\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\cdot (X-\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}]).}$

Теперь, если мы возьмем ожидание, обусловленное с обеих сторон предыдущего выражения, то получим результат, поскольку:${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left[(D\varphi )(\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\cdot (X-\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\right]\mid {\mathfrak {G}}\right]=(D\varphi )(\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\cdot \operatorname {E} [\left(X-\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}]\right)\mid {\mathfrak {G}}]=0,}$

линейностью субдифференциала по переменной y и следующим известным свойством условного ожидания :

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}]\right)\mid {\mathfrak {G}}\right]=\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}].}$

Предположим, что Ω — измеримое подмножество действительной прямой, а f ( x ) — неотрицательная функция, такая что

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1.}$

На вероятностном языке f — это функция плотности вероятности .

Тогда неравенство Йенсена принимает вид следующего утверждения о выпуклых интегралах:

Если g — любая измеримая функция с действительными значениями, выпуклая в диапазоне значений g , то${\textstyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (g(x))f(x)\,dx.}$

Если g ( x ) = x , то эта форма неравенства сводится к обычно используемому частному случаю:

${\displaystyle \varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,f(x)\,dx.}$

Это применяется в вариационных байесовских методах .

Если g ( x ) = x ²ⁿ , а X — случайная величина, то g является выпуклой функцией, так как

${\displaystyle {\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}(x)=2n(2n-1)x^{2n-2}\geq 0\quad \forall \ x\in \mathbb {R} }$

и так

${\displaystyle g(\operatorname {E} [X])=(\operatorname {E} [X])^{2n}\leq \operatorname {E} [X^{2n}].}$

В частности, если некоторый четный момент 2n X конечен, то X имеет конечное среднее. Расширение этого аргумента показывает, что X имеет конечные моменты каждого порядка , делящего n .${\displaystyle l\in \mathbb {N} }$

Пусть Ω = { x ₁ , ... x _n }, и возьмем μ в качестве меры подсчета на Ω , тогда общая форма сводится к утверждению о суммах:

${\displaystyle \varphi \left(\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})\lambda _{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\varphi (g(x_{i}))\lambda _{i},}$

при условии, что λ _i ≥ 0 и

${\displaystyle \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=1.}$

Существует также бесконечная дискретная форма.

Неравенство Йенсена имеет особое значение в статистической физике, когда выпуклая функция является экспоненциальной, давая:

${\displaystyle e^{\operatorname {E} [X]}\leq \operatorname {E} \left[e^{X}\right],}$

где ожидаемые значения относятся к некоторому распределению вероятностей случайной величины X.

Доказательство: Впустить${\displaystyle \varphi (x)=e^{x}}$${\displaystyle \varphi \left(\operatorname {E} [X]\right)\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].}$

Если p ( x ) — истинная плотность вероятности для X , а q ( x ) — другая плотность, то применение неравенства Йенсена для случайной величины Y ( X ) = q ( X )/ p ( X ) и выпуклой функции φ ( y ) = −log( y ) дает

${\displaystyle \operatorname {E} [\varphi (Y)]\geq \varphi (\operatorname {E} [Y])}$

Поэтому:

${\displaystyle -D(p(x)\|q(x))=\int p(x)\log \left({\frac {q(x)}{p(x)}}\right)\,dx\leq \log \left(\int p(x){\frac {q(x)}{p(x)}}\,dx\right)=\log \left(\int q(x)\,dx\right)=0}$

результат, называемый неравенством Гиббса .

Он показывает, что средняя длина сообщения минимизируется , когда коды назначаются на основе истинных вероятностей p, а не любого другого распределения q . Неотрицательная величина называется отклонением Кульбака–Лейблера q от p , где .${\displaystyle D(p(x)\|q(x))=\int p(x)\log \left({\frac {p(x)}{q(x)}}\right)dx}$

Поскольку −log( x ) является строго выпуклой функцией при x > 0 , то равенство имеет место, когда p ( x ) равно q ( x ) почти всюду.

Если L — выпуклая функция и суб-сигма-алгебра, то из условной версии неравенства Йенсена получаем${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$

${\displaystyle L(\operatorname {E} [\delta (X)\mid {\mathfrak {G}}])\leq \operatorname {E} [L(\delta (X))\mid {\mathfrak {G}}]\quad \Longrightarrow \quad \operatorname {E} [L(\operatorname {E} [\delta (X)\mid {\mathfrak {G}}])]\leq \operatorname {E} [L(\delta (X))].}$

Итак, если δ( X ) является некоторой оценкой ненаблюдаемого параметра θ при заданном векторе наблюдаемых X ; и если T ( X ) является достаточной статистикой для θ ; то улучшенную оценку, в смысле наличия меньших ожидаемых потерь L , можно получить путем вычисления

${\displaystyle \delta _{1}(X)=\operatorname {E} _{\theta }[\delta (X')\mid T(X')=T(X)],}$

ожидаемое значение δ относительно θ, взятое по всем возможным векторам наблюдений X, совместимым с тем же значением T ( X ), что и наблюдаемое. Кроме того, поскольку T является достаточной статистикой, не зависит от θ, следовательно, становится статистикой.${\displaystyle \delta _{1}(X)}$

Этот результат известен как теорема Рао–Блэквелла .

Связь между неприятием риска и снижением предельной полезности для скалярных результатов можно формально сформулировать с помощью неравенства Йенсена: неприятие риска можно сформулировать как предпочтение определенного результата честной игре с потенциально большим, но неопределенным результатом :${\displaystyle u(E[x])}$${\displaystyle u(x)}$

${\displaystyle u(E[x])>E[u(x)]}$.

Но это просто неравенство Йенсена для вогнутой функции полезности , которая демонстрирует убывающую предельную полезность. ^[11]${\displaystyle u(x)}$

• Неравенство Караматы для более общего неравенства
• Неравенство Поповичу
• Закон средних чисел
• Доказательство неравенства Йенсена без слов

• Дэвид Чандлер (1987). Введение в современную статистическую механику . Оксфорд. ISBN 0-19-504277-8.
• Тристан Нидхэм (1993) «Наглядное объяснение неравенства Дженсена», American Mathematical Monthly 100(8):768–71.
• Никола Фуско ; Паоло Марчеллини ; Карло Сбордоне (1996). Анализ Математики Дуэ . Лигуори. ISBN 978-88-207-2675-1.
• Уолтер Рудин (1987). Действительный и комплексный анализ . McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1.
• Рик Дарретт (2019). Вероятность: теория и примеры (5-е изд.). Cambridge University Press. стр. 430. ISBN 978-1108473682. Получено 21 декабря 2020 г. .
• Сэм Сэвидж (2012) Недостаток средних значений: почему мы недооцениваем риск в условиях неопределенности (1-е изд.) Wiley. ISBN 978-0471381976

• Операторное неравенство Йенсена Хансена и Педерсена.
• «Неравенство Йенсена», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Неравенство Дженсена». Математический мир .
• Артур Лоуотер (1982). «Введение в неравенства». Электронная книга в формате PDF.