Поток Джеффери–Хамеля

В гидродинамике поток Джеффри-Гамеля — это поток, создаваемый сходящимся или расходящимся каналом с источником или стоком объема жидкости в точке пересечения двух плоских стенок. Он назван в честь Джорджа Баркера Джеффри (1915) [1] и Георга Гамеля (1917), [2], но впоследствии его изучали многие крупные ученые, такие как фон Карман и Леви-Чивита , [3] Вальтер Толлмин , [4] Ф. Нётер , [5] В. Р. Дин , [6] Розенхед , [7] Ландау , [8] Г. К. Батчелор [9] и т. д. Полный набор решений был описан Эдвардом Френкелем в 1962 году. [10]

Описание потока

Рассмотрим две неподвижные плоские стенки с постоянным объемным расходом, который впрыскивается/всасывается в точке пересечения плоских стенок, и пусть угол, образованный двумя стенками, равен . Возьмем цилиндрическую систему координат с представляющей точкой пересечения и осевой линией и — соответствующие компоненты скорости. Результирующий поток будет двумерным, если пластины бесконечно длинные в осевом направлении, или пластины длиннее, но конечны, если пренебречь краевыми эффектами, и по той же причине поток можно считать полностью радиальным, т. е . . В {\displaystyle Q} 2 α {\displaystyle 2\альфа} ( г , θ , з ) {\displaystyle (r,\theta ,z)} г = 0 {\displaystyle r=0} θ = 0 {\displaystyle \тета =0} ( ты , в , ж ) {\displaystyle (u,v,w)} з {\displaystyle z} ты = ты ( г , θ ) , в = 0 , ж = 0 {\displaystyle u=u(r,\theta),v=0,w=0}

Тогда уравнение неразрывности и несжимаемые уравнения Навье–Стокса сводятся к виду

∂ ( г ты ) ∂ г = 0 , ты ∂ ты ∂ г = − 1 ρ ∂ п ∂ г + ν [ 1 г ∂ ∂ г ( г ∂ ты ∂ г ) + 1 г 2 ∂ 2 ты ∂ θ 2 − ты г 2 ] 0 = − 1 ρ г ∂ п ∂ θ + 2 ν г 2 ∂ ты ∂ θ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (ru)}{\partial r}}&=0,\\[6pt]u{\frac {\partial u}{\partial r}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}+\nu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}-{\frac {u}{r^{2}}}\right]\\[6pt]0&=-{\frac {1}{\rho r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+{\frac {2\nu }{r^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}\end{align}}}

Граничными условиями являются условия отсутствия скольжения на обеих стенках, а третье условие вытекает из того факта, что объемный поток, впрыскиваемый/всасываемый в точке пересечения, постоянен по всей поверхности при любом радиусе.

ты ( ± α ) = 0 , В = ∫ − α α ты г г θ {\displaystyle u(\pm \alpha )=0,\quad Q=\int _{-\alpha }^{\alpha }ur\,d\theta }

Формулировка

Первое уравнение говорит, что это просто функция , функция определяется как г ты {\displaystyle ru} θ {\displaystyle \тета}

Ф ( θ ) = г ты ν . {\displaystyle F(\theta)={\frac {ru}{\nu }}.}

Разные авторы определяют функцию по-разному, например, Ландау [ 8] определяет функцию с множителем . Но следуя Уизему [11] Розенхеду [12] уравнение импульса становится 6 {\displaystyle 6} θ {\displaystyle \тета}

1 ρ ∂ п ∂ θ = 2 ν 2 г 2 г Ф г θ {\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}={\frac {2\nu ^{2}}{r^{2}}}{\frac {dF}{d\theta }}}

Теперь сдаю

п − п ∞ ρ = ν 2 г 2 П ( θ ) , {\displaystyle {\frac {p-p_{\infty }}{\rho }}={\frac {\nu ^{2}}{r^{2}}}P(\theta),}

и уравнения импульса сводятся к г {\displaystyle r} θ {\displaystyle \тета}

П = − 1 2 ( Ф 2 + Ф ″ ) {\displaystyle P=- {\frac {1}{2}}(F^{2}+F'')}
П ′ = 2 Ф ′ , ⇒ П = 2 Ф + С {\displaystyle P'=2F',\quad \Стрелка вправо \quad P=2F+C}

и подстановка этого в предыдущее уравнение (для устранения давления) приводит к

Ф ″ + Ф 2 + 4 Ф + 2 С = 0 {\displaystyle F''+F^{2}+4F+2C=0}

Умножая на и интегрируя один раз, Ф ′ {\displaystyle F'}

1 2 Ф ′ 2 + 1 3 Ф 3 + 2 Ф 2 + 2 С Ф = Д , {\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}F^{3}+2F^{2}+2CF=D,}
1 2 Ф ′ 2 + 1 3 ( Ф 3 + 6 Ф 2 + 6 С Ф − 3 Д ) = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}(F^{3}+6F^{2}+6CF-3D)=0}

где константы, которые необходимо определить из граничных условий. Вышеуказанное уравнение можно удобно переписать с тремя другими константами как корнями кубического полинома, причем только две константы являются произвольными, третья константа всегда получается из двух других, поскольку сумма корней равна . С , Д {\displaystyle C,D} а , б , с {\displaystyle а,б,в} а + б + с = − 6 {\displaystyle а+b+c=-6}

1 2 Ф ′ 2 + 1 3 ( Ф − а ) ( Ф − б ) ( Ф − с ) = 0 , {\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}(Fa)(Fb)(Fc)=0,}
1 2 Ф ′ 2 − 1 3 ( а − Ф ) ( Ф − б ) ( Ф − с ) = 0. {\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}-{\frac {1}{3}}(a-F)(F-b)(F-c)=0.}

Граничные условия сводятся к

F ( ± α ) = 0 , Q ν = ∫ − α α F d θ {\displaystyle F(\pm \alpha )=0,\quad {\frac {Q}{\nu }}=\int _{-\alpha }^{\alpha }F\,d\theta }

где — соответствующее число Рейнольдса . Решение можно выразить через эллиптические функции . Для сходящегося потока решение существует для всех , но для расходящегося потока решение существует только для определенного диапазона . R e = Q / ν {\displaystyle Re=Q/\nu } Q < 0 {\displaystyle Q<0} R e {\displaystyle Re} Q > 0 {\displaystyle Q>0} R e {\displaystyle Re}

Динамическая интерпретация

Источник: [13]

Уравнение принимает ту же форму, что и незатухающий нелинейный осциллятор (с кубическим потенциалом), можно предположить, что есть время , есть смещение и есть скорость частицы с единичной массой, тогда уравнение представляет собой уравнение энергии ( , где и ) с нулевой полной энергией, тогда легко видеть, что потенциальная энергия равна θ {\displaystyle \theta } F {\displaystyle F} F ′ {\displaystyle F'} K . E . + P . E . = 0 {\displaystyle K.E.+P.E.=0} K . E . = 1 2 F ′ 2 {\displaystyle K.E.={\frac {1}{2}}F'^{2}} P . E . = V ( F ) {\displaystyle P.E.=V(F)}

V ( F ) = − 1 3 ( a − F ) ( F − b ) ( F − c ) {\displaystyle V(F)=-{\frac {1}{3}}(a-F)(F-b)(F-c)}

где в движении. Поскольку частица начинается в для и заканчивается в для , следует рассмотреть два случая. V ≤ 0 {\displaystyle V\leq 0} F = 0 {\displaystyle F=0} θ = − α {\displaystyle \theta =-\alpha } F = 0 {\displaystyle F=0} θ = α {\displaystyle \theta =\alpha }

  • Первый случай — это комплексно сопряженные числа и . Частица стартует с конечной положительной скоростью и достигает точки, где ее скорость и ускорение равны , и возвращается в конечный момент времени . Движение частицы представляет собой чистое истечение, поскольку и также она симметрична относительно . b , c {\displaystyle b,c} a > 0 {\displaystyle a>0} F = 0 {\displaystyle F=0} F = a {\displaystyle F=a} F ′ = 0 {\displaystyle F'=0} F ″ = − d V / d F < 0 {\displaystyle F''=-dV/dF<0} F = 0 {\displaystyle F=0} 0 < F < a {\displaystyle 0<F<a} F > 0 {\displaystyle F>0} θ = 0 {\displaystyle \theta =0}
  • Во втором случае все константы действительны. Движение от до до представляет собой чистый симметричный отток, как и в предыдущем случае. А движение к к с для всего времени ( ) представляет собой чистый симметричный приток. Но также частица может колебаться между , представляя как области притока, так и области оттока, и поток больше не должен быть симметричным относительно . c < b < 0 < a {\displaystyle c<b<0<a} F = 0 {\displaystyle F=0} F = a {\displaystyle F=a} F = 0 {\displaystyle F=0} F = 0 {\displaystyle F=0} F = b {\displaystyle F=b} F = 0 {\displaystyle F=0} F < 0 {\displaystyle F<0} − α ≤ θ ≤ α {\displaystyle -\alpha \leq \theta \leq \alpha } b ≤ F ≤ a {\displaystyle b\leq F\leq a} θ = 0 {\displaystyle \theta =0}

Богатую структуру этой динамической интерпретации можно найти в работе Розенхеда (1940). [7]

Чистый отток

Для чистого оттока, поскольку при , интегрирование основного уравнения дает F = a {\displaystyle F=a} θ = 0 {\displaystyle \theta =0}

θ = 3 2 ∫ F a d F ( a − F ) ( F − b ) ( F − c ) ) {\displaystyle \theta ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{F}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}}

и граничные условия становятся

α = 3 2 ∫ 0 a d F ( a − F ) ( F − b ) ( F − c ) ) , R e = 2 3 2 ∫ 0 α F d F ( a − F ) ( F − b ) ( F − c ) ) . {\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}},\quad Re=2{\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\alpha }{\frac {FdF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}.}

Уравнения можно упростить с помощью стандартных преобразований, приведенных, например, в работе Джеффриса . [14]

  • Первый случай — комплексно сопряженные числа, и приводит к b , c {\displaystyle b,c} a > 0 {\displaystyle a>0}
F ( θ ) = a − 3 M 2 2 1 − cn ⁡ ( M θ , κ ) 1 + cn ⁡ ( M θ , κ ) {\displaystyle F(\theta )=a-{\frac {3M^{2}}{2}}{\frac {1-\operatorname {cn} (M\theta ,\kappa )}{1+\operatorname {cn} (M\theta ,\kappa )}}}
M 2 = 2 3 ( a − b ) ( a − c ) , κ 2 = 1 2 + a + 2 2 M 2 {\displaystyle M^{2}={\frac {2}{3}}{\sqrt {(a-b)(a-c)}},\quad \kappa ^{2}={\frac {1}{2}}+{\frac {a+2}{2M^{2}}}}

где — эллиптические функции Якоби . sn , cn {\displaystyle \operatorname {sn} ,\operatorname {cn} }

  • Второй случай приводит к c < b < 0 < a {\displaystyle c<b<0<a}
F ( θ ) = a − 6 k 2 m 2 sn 2 ⁡ ( m θ , k ) {\displaystyle F(\theta )=a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}(m\theta ,k)}
m 2 = 1 6 ( a − c ) , k 2 = a − b a − c . {\displaystyle m^{2}={\frac {1}{6}}(a-c),\quad k^{2}={\frac {a-b}{a-c}}.}

Предельная форма

Предельное условие получается, если отметить, что чистый отток невозможен при , что следует из основного уравнения. Таким образом, за пределами этого критического условия решения не существует. Критический угол определяется как F ′ ( ± α ) = 0 {\displaystyle F'(\pm \alpha )=0} b = 0 {\displaystyle b=0} α c {\displaystyle \alpha _{c}}

α c = 3 2 ∫ 0 a d F F ( a − F ) ( F + a + 6 ) ) , = 3 2 a ∫ 0 1 d t t ( 1 − t ) { 1 + ( 1 + 6 / a ) t } , = K ( k 2 ) m 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c}&={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {F(a-F)(F+a+6))}}},\\&={\sqrt {\frac {3}{2a}}}\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)\{1+(1+6/a)t\}}}},\\&={\frac {K(k^{2})}{m^{2}}}\end{aligned}}}

где

m 2 = 3 + a 3 , k 2 = 1 2 ( a 3 + a ) {\displaystyle m^{2}={\frac {3+a}{3}},\quad k^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{3+a}}\right)}

где — полный эллиптический интеграл первого рода . При больших значениях критический угол становится равным . K ( k 2 ) {\displaystyle K(k^{2})} a {\displaystyle a} α c = 3 a K ( 1 2 ) = 3.211 a {\displaystyle \alpha _{c}={\sqrt {\frac {3}{a}}}K\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {3.211}{\sqrt {a}}}}

Соответствующее критическое число Рейнольдса или объемный поток определяется выражением

R e c = Q c ν = 2 ∫ 0 α c ( a − 6 k 2 m 2 sn 2 ⁡ m θ ) d θ , = 12 k 2 1 − 2 k 2 ∫ 0 K cn 2 ⁡ t d t , = 12 1 − 2 k 2 [ E ( k 2 ) − ( 1 − k 2 ) K ( k 2 ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}Re_{c}={\frac {Q_{c}}{\nu }}&=2\int _{0}^{\alpha _{c}}(a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}m\theta )\,d\theta ,\\&={\frac {12k^{2}}{\sqrt {1-2k^{2}}}}\int _{0}^{K}\operatorname {cn} ^{2}tdt,\\&={\frac {12}{\sqrt {1-2k^{2}}}}[E(k^{2})-(1-k^{2})K(k^{2})]\end{aligned}}}

где — полный эллиптический интеграл второго рода . При больших значениях критическое число Рейнольдса или объемный поток становится равным . E ( k 2 ) {\displaystyle E(k^{2})} a , (   k 2 ∼ 1 2 − 3 2 a ) {\displaystyle a,\left(\ k^{2}\sim {\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2a}}\right)} R e c = Q c ν = 12 a 3 [ E ( 1 2 ) − 1 2 K ( 1 2 ) ] = 2.934 a {\displaystyle Re_{c}={\frac {Q_{c}}{\nu }}=12{\sqrt {\frac {a}{3}}}\left[E\left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}K\left({\frac {1}{2}}\right)\right]=2.934{\sqrt {a}}}

Чистый приток

Для чистого притока неявное решение имеет вид

θ = 3 2 ∫ b F d F ( a − F ) ( F − b ) ( F − c ) ) {\displaystyle \theta ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{b}^{F}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}}

и граничные условия становятся

α = 3 2 ∫ b 0 d F ( a − F ) ( F − b ) ( F − c ) ) , R e = 2 3 2 ∫ α 0 F d F ( a − F ) ( F − b ) ( F − c ) ) . {\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{b}^{0}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}},\quad Re=2{\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{\alpha }^{0}{\frac {FdF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}.}

Чистый приток возможен только тогда, когда все константы действительны и решение имеет вид c < b < 0 < a {\displaystyle c<b<0<a}

F ( θ ) = a − 6 k 2 m 2 sn 2 ⁡ ( K − m θ , k ) = b + 6 k 2 m 2 cn 2 ⁡ ( K − m θ , k ) {\displaystyle F(\theta )=a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}(K-m\theta ,k)=b+6k^{2}m^{2}\operatorname {cn} ^{2}(K-m\theta ,k)}
m 2 = 1 6 ( a − c ) , k 2 = a − b a − c {\displaystyle m^{2}={\frac {1}{6}}(a-c),\quad k^{2}={\frac {a-b}{a-c}}}

где — полный эллиптический интеграл первого рода . K ( k 2 ) {\displaystyle K(k^{2})}

Предельная форма

По мере увеличения числа Рейнольдса ( становится больше), поток стремится стать равномерным (таким образом приближаясь к решению потенциального потока ), за исключением пограничных слоев вблизи стенок. Поскольку велико и дано, то из решения ясно, что должно быть велико, поэтому . Но когда , , решение становится − b {\displaystyle -b} m {\displaystyle m} α {\displaystyle \alpha } K {\displaystyle K} k ∼ 1 {\displaystyle k\sim 1} k ≈ 1 {\displaystyle k\approx 1} sn ⁡ t ≈ tanh ⁡ t ,   c ≈ b ,   a ≈ − 2 b {\displaystyle \operatorname {sn} t\approx \tanh t,\ c\approx b,\ a\approx -2b}

F ( θ ) = b { 3 tanh 2 ⁡ [ − b 2 ( α − θ ) + tanh − 1 ⁡ 2 3 ] − 2 } . {\displaystyle F(\theta )=b\left\{3\tanh ^{2}\left[{\sqrt {-{\frac {b}{2}}}}(\alpha -\theta )+\tanh ^{-1}{\sqrt {\frac {2}{3}}}\right]-2\right\}.}

Ясно, что всюду, за исключением пограничного слоя толщиной . Объемный поток таков , что и пограничные слои имеют классическую толщину . F ≈ b {\displaystyle F\approx b} O ( − b 2 ) {\displaystyle O\left({\sqrt {-{\frac {b}{2}}}}\right)} Q / ν ≈ 2 α b {\displaystyle Q/\nu \approx 2\alpha b} | R e | = O ( | b | ) {\displaystyle |Re|=O(|b|)} O ( | R e | 1 / 2 ) {\displaystyle O\left(|Re|^{1/2}\right)}

Ссылки

  1. ^ Джеффри, ГБ «Л. Двумерное устойчивое движение вязкой жидкости». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал 29.172 (1915): 455–465.
  2. ^ Хамель, Георг. «Spiralförmige Bewegungen zäher Flüssigkeiten». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 25 (1917): 34–60.
  3. ^ фон Карман и Леви-Чивита . «Vorträge aus dem Gebiete der Hydro-und Aerodynamic». (1922)
  4. ^ Уолтер Толлмиен «Справочник по экспериментальной физике, Том 4». (1931): 257.
  5. ^ Фриц Нётер «Справочник по физике и технической механике, Том 5». Лейпциг, Дж. А. Барх (1931): 733.
  6. ↑ Дин, WR «LXXII. Заметка о расходящемся потоке жидкости». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал 18.121 (1934): 759–777.
  7. ^ ab Louis Rosenhead "Устойчивый двумерный радиальный поток вязкой жидкости между двумя наклонными плоскими стенками". Труды Лондонского королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки. Т. 175. № 963. Королевское общество, 1940.
  8. ^ ab Лев Ландау и Е. М. Лифшиц . «Механика жидкости. Пергам». Нью-Йорк 61 (1959).
  9. ^ GK Batchelor . Введение в динамику жидкости. Cambridge University Press, 2000.
  10. ^ Френкель, Л. Э. (1962). Ламинарное течение в симметричных каналах со слегка изогнутыми стенками, I. О решениях Джеффри-Гамеля для течения между плоскими стенками. Труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки, 267(1328), 119-138.
  11. ^ Уизем, ГБ «Глава III в ламинарных пограничных слоях». (1963): 122.
  12. ^ Розенхед, Луис, ред. Ламинарные пограничные слои. Clarendon Press, 1963.
  13. ^ Дразин, Филип Г. и Норман Райли . Уравнения Навье–Стокса: классификация потоков и точные решения. № 334. Cambridge University Press, 2006.
  14. ^ Джеффрис, Гарольд, Берта Свирлз и Филип М. Морзе. «Методы математической физики». (1956): 32–34.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Jeffery–Hamel_flow&oldid=1244772969"