Японская теорема для вписанных многоугольников
В геометрии японская теорема гласит , что независимо от способа триангуляции вписанного многоугольника сумма радиусов вписанных треугольников остается постоянной . [1] : стр . 193
Наоборот, если сумма вписанных радиусов не зависит от триангуляции, то многоугольник является вписанным. Японская теорема следует из теоремы Карно ; это проблема Сангаку .
Доказательство
Эту теорему можно доказать, сначала доказав частный случай: как бы мы ни триангулировали вписанный четырехугольник , сумма радиусов вписанных треугольников остается постоянной.
После доказательства случая четырехугольника, общий случай теоремы о циклическом многоугольнике является непосредственным следствием. Правило четырехугольника может быть применено к четырехугольным компонентам общего разбиения циклического многоугольника, и повторное применение правила, которое «переворачивает» одну диагональ, сгенерирует все возможные разбиения из любого данного разбиения, причем каждое «переворачивание» сохраняет сумму вписанных радиусов.
Четырехугольник следует из простого расширения японской теоремы для вписанных четырехугольников , которая показывает, что прямоугольник образован двумя парами инцентров, соответствующих двум возможным триангуляциям четырехугольника. Шаги этой теоремы не требуют ничего, кроме базовой конструктивной евклидовой геометрии. [2]
С дополнительным построением параллелограмма, стороны которого параллельны диагоналям и касаются углов прямоугольника инцентров, четырехсторонний случай теоремы о вписанном многоугольнике может быть доказан в несколько шагов. Равенство сумм радиусов двух пар эквивалентно условию, что построенный параллелограмм будет ромбом, и это легко показать в построении.
Другое доказательство случая четырехугольника доступно благодаря Вилфреду Рейесу (2002). [3] В доказательстве как японская теорема для вписанных четырехугольников , так и четырехсторонний случай теоремы о вписанном многоугольнике доказаны как следствие проблемы Тебо III .
Смотрите также
- Теорема Карно , которая используется в доказательстве вышеприведенной теоремы
- Теорема о равных вписанных окружностях
- Касательные линии к окружностям
Примечания
- ^ Джонсон, Роджер А., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (ориг. 1929).
- ^ Фукагава, Хидетоши; Педое, Д. (1989). Японская храмовая геометрия . Манитоба, Канада: Исследовательский центр Чарльза Бэббиджа. С. 125–128. ISBN 0919611214.
- ^ Рейес, Вильфред (2002). «Применение теоремы Тебо» (PDF) . Forum Geometricorum . 2 : 183–185. Архивировано из оригинала (PDF) 24 октября 2018 г. . Получено 2 сентября 2015 г. .
Ссылки
- Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Иконы математики: исследование двадцати ключевых изображений . MAA, 2011, ISBN 9780883853528 , стр. 121-125
- Wilfred Reyes: Приложение теоремы Тебо Архивировано 24 октября 2018 г. на Wayback Machine . Forum Geometricorum, том 2, 2002 г., стр. 183–185
Внешние ссылки
