Координаты Якоби

В теории многочастичных систем координаты Якоби часто используются для упрощения математической формулировки. Эти координаты особенно распространены при рассмотрении многоатомных молекул и химических реакций , ^[3] и в небесной механике . ^[4] Алгоритм для генерации координат Якоби для N тел может быть основан на бинарных деревьях . ^[5] На словах алгоритм описывается следующим образом: ^[5]

Пусть m _j и m _k — массы двух тел, которые заменяются новым телом виртуальной массы M = m _j + m _k . Координаты положения x _j и x _k заменяются их относительным положением r _jk = x _j  −  x _k и вектором к их центру масс R _jk = ( m _j q _j + m _k q _k )/( m _j + m _k ). Узел в двоичном дереве, соответствующий виртуальному телу, имеет m _j в качестве своего правого потомка и m _k в качестве своего левого потомка. Порядок потомков указывает относительные координатные точки от x _k до x _j . Повторите вышеуказанный шаг для N  − 1 тел, то есть N  − 2 исходных тел плюс новое виртуальное тело.

Для задачи N тел результат: ^[2]

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{j}={\frac {1}{m_{0j}}}\sum _{k=1}^{j}m_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}\ -\ {\boldsymbol {x}}_{j+1}\ ,\quad j\in \{1,2,\dots ,N-1\}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}={\frac {1}{m_{0N}}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}\ ,}$

с

${\displaystyle m_{0j}=\sum _{k=1}^{j}\ m_{k}\ .}$

Вектор является центром масс всех тел и представляет собой относительную координату между частицами 1 и 2:${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1}}$

В результате получается система из N -1 трансляционно-инвариантных координат и координаты центра масс , получаемая путем итеративного сокращения двухчастичных систем в многочастичной системе.${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N-1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}}$

Это изменение координат имеет связанный якобиан, равный .${\displaystyle 1}$

Если интересно оценить оператор свободной энергии в этих координатах, то получим

${\displaystyle H_{0}=-\sum _{j=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\,\partial _{{\boldsymbol {x}}_{j}}^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0N}}}\,\partial _{{\boldsymbol {r}}_{N}}^{2}\!-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N-1}\!\left({\frac {1}{m_{j+1}}}+{\frac {1}{m_{0j}}}\right)\partial _{{\boldsymbol {r}}_{j}}^{2}}$

В расчетах может быть полезным следующее тождество

${\displaystyle \sum _{k=j+1}^{N}{\frac {m_{k}}{m_{0k}m_{0k-1}}}={\frac {1}{m_{0j}}}-{\frac {1}{m_{0N}}}}$.