Пространство петли

В топологии , разделе математики , пространство петель Ω X топологического пространства с точкой X является пространством (базированных) петель в X , т. е. непрерывных пунктированных отображений из пунктированной окружности S ¹ в X , снабженных компактно-открытой топологией . Две петли можно умножить путем конкатенации . С помощью этой операции пространство петель является A _∞ -пространством . То есть умножение гомотопически-когерентно ассоциативно .

Множество компонентов пути Ω X , т.е. множество классов эквивалентности базисных гомотопий базисных петель в X , представляет собой группу , фундаментальную группу π ₁ ( X ).

Пространства итерированных циклов X образуются путем применения Ω несколько раз.

Аналогичная конструкция существует для топологических пространств без базовой точки. Свободное пространство петель топологического пространства X — это пространство отображений из окружности S ¹ в X с компактно-открытой топологией. Свободное пространство петель X часто обозначается как . ${\displaystyle {\mathcal {L}}X}$

Как функтор , конструкция свободного пространства петель является сопряженной справа к декартову произведению с окружностью, в то время как конструкция пространства петель является сопряженной справа к редуцированной подвеске . Это присоединение во многом объясняет важность пространств петель в стабильной гомотопической теории . (Связанное с этим явление в информатике — каррирование , где декартово произведение является сопряженным к функтору hom .) Неформально это называется двойственностью Экмана–Хилтона .

Пространство петли двойственно подвеске того же пространства; эта двойственность иногда называется двойственностью Экмана–Хилтона . Основное наблюдение заключается в том, что

${\displaystyle [\Сигма Z,X]\approxeq [Z,\Омега X]}$

где — множество гомотопических классов отображений , а — надстройка A, а обозначает естественный гомеоморфизм . Этот гомеоморфизм по сути является каррированием по модулю частных, необходимых для преобразования произведений в редуцированные произведения.${\displaystyle [А,Б]}$${\displaystyle A\rightarrow B}$${\displaystyle \Сигма А}$${\displaystyle \approxeq}$

В общем случае не имеет групповой структуры для произвольных пространств и . Однако можно показать, что и имеют естественные групповые структуры, когда и указываются , и вышеупомянутый изоморфизм относится к этим группам. ^[1] Таким образом, установка ( сфера) дает соотношение${\displaystyle [А,Б]}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle [\Сигма Z,X]}$${\displaystyle [Z,\Омега X]}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z=S^{k-1}}$${\displaystyle к-1}$

${\displaystyle \пи _{k}(X)\approxeq \пи _{k-1}(\Омега X)}$.

Это следует из того, что гомотопическая группа определяется как и сферы могут быть получены посредством подвешивания друг друга, т.е. [ ^2]${\displaystyle \пи _{k}(X)=[S^{k},X]}$${\displaystyle S^{k}=\Сигма S^{k-1}}$

• Периодичность Ботта
• Пространство Эйленберга–Маклейна
• Свободный цикл
• Основная группа
• Гипотеза Грея
• Список топологий
• Группа циклов
• Путь (топология)
• Квазигруппа
• Спектр (топология)
• Пространство путей (алгебраическая топология)

• Адамс, Джон Франк (1978), Бесконечные циклические пространства, Annals of Mathematics Studies, т. 90, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08207-3, МР  0505692
• Мэй, Дж. Питер (1972), Геометрия пространств итерированных циклов, Lecture Notes in Mathematics, т. 271, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0067491, ISBN 978-3-540-05904-2, МР  0420610