Лемма Ито

В математике лемма Ито или формула Ито — это тождество, используемое в исчислении Ито для нахождения дифференциала зависящей от времени функции стохастического процесса . Она служит аналогом цепного правила в стохастическом исчислении . Она может быть эвристически выведена путем формирования разложения функции в ряд Тейлора до ее вторых производных и сохранения членов до первого порядка по приращению времени и второго порядка по приращению винеровского процесса . Лемма широко используется в математических финансах , и ее наиболее известное применение — вывод уравнения Блэка–Шоулза для стоимости опционов.

Этот результат был обнаружен японским математиком Киёси Ито в 1951 году. ^[1]

Предположим, что нам дано стохастическое дифференциальное уравнение , где B _t — это винеровский процесс , а функции — это детерминированные (не стохастические) функции времени. В общем случае решение невозможно записать непосредственно в терминах Однако мы можем формально записать интегральное решение$${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t},}$$${\displaystyle \mu _{t},\sigma _{t}}$${\displaystyle X_{т}}$${\displaystyle B_{t}.}$$${\displaystyle X_{t}=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\ dB_{s}.}$$

Это выражение позволяет нам легко считать среднее значение и дисперсию (которая не имеет более высоких моментов). Во-первых, обратите внимание, что каждое индивидуально имеет среднее значение 0, поэтому ожидаемое значение является просто интегралом функции дрейфа:${\displaystyle X_{т}}$${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}}$${\displaystyle X_{т}}$$${\displaystyle \mathrm {E} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds.}$$

Аналогично, поскольку члены имеют дисперсию 1 и не коррелируют друг с другом, дисперсия представляет собой просто интеграл дисперсии каждого бесконечно малого шага в случайном блуждании:${\displaystyle дБ}$${\displaystyle X_{т}}$$${\displaystyle \mathrm {Var} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\ ds.}$$

Однако иногда мы сталкиваемся со стохастическим дифференциальным уравнением для более сложного процесса , в котором процесс появляется с обеих сторон дифференциального уравнения. То есть, скажем, для некоторых функций и В этом случае мы не можем сразу записать формальное решение, как мы сделали для более простого случая выше. Вместо этого мы надеемся записать процесс как функцию более простого процесса, принимающего форму выше. То есть, мы хотим определить три функции и такие, что и На практике лемма Ито используется для того, чтобы найти это преобразование. Наконец, как только мы преобразовали задачу в более простой тип задачи, мы можем определить средний и высший моменты процесса.${\displaystyle Y_{t},}$$${\displaystyle dY_{t}=a_{1}(Y_{t},t)\ dt+a_{2}(Y_{t},t)\ dB_{t},}$$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}.}$${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle f(t,x),\mu _{t},}$${\displaystyle \sigma _{t},}$${\displaystyle Y_{t}=f(t,X_{t})}$${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t}.}$

Мы выводим лемму Ито, расширяя ряд Тейлора и применяя правила стохастического исчисления.

Предположим, что это процесс дрейфа-диффузии Ито , который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t},}$

где B _t — винеровский процесс .

Если f ( t , x ) — дважды дифференцируемая скалярная функция, то ее разложение в ряд Тейлора равно

${\displaystyle {\frac {\Delta f(t)}{dt}}dt=f(t+dt,x)-f(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,(dt)^{2}+\cdots +}$

${\displaystyle {\frac {\Delta f(x)}{dx}}dx=f(t,x+dx)-f(t,x)={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,(dx)^{2}+\cdots }$

Затем используем полную производную и определение частной производной :${\displaystyle f_{y}=\lim _{dy\to 0}{\frac {\Delta f(y)}{dy}}}$

${\displaystyle df=f_{t}dt+f_{x}dx=\lim _{dx\to 0,dt\to 0}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,(dt)^{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,(dx)^{2}+\cdots .}$

Подставляя и, следовательно , получаем${\displaystyle x=X_{t}}$${\displaystyle dx=dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}}$

${\displaystyle df=\lim _{dB_{t}\to 0,dt\to 0}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,(dt)^{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x}}(\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t})+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left(\mu _{t}^{2}\,(dt)^{2}+2\mu _{t}\sigma _{t}\,dt\,dB_{t}+\sigma _{t}^{2}\,(dB_{t})^{2}\right)+\cdots .}$

В пределе члены и стремятся к нулю быстрее, чем . ( из -за квадратичной вариации винеровского процесса , который гласит ), поэтому, приравнивая члены и к нулю и подставляя вместо , а затем собирая члены, получаем${\displaystyle dt\to 0}$${\displaystyle (dt)^{2}}$${\displaystyle dt\,dB_{t}}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle (dB_{t})^{2}}$${\displaystyle O(dt)}$${\displaystyle B_{t}^{2}=O(t)}$${\displaystyle (dt)^{2},dt\,dB_{t}}$${\displaystyle (dx)^{3}}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle (dB_{t})^{2}}$${\displaystyle dt}$

${\displaystyle df=\lim _{dt\to 0}\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}}$

по мере необходимости.

В качестве альтернативы,

${\displaystyle df=\lim _{dt\to 0}\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dX_{t}}$

Предположим, мы знаем, что — две совместно распределенные по Гауссу случайные величины, и — нелинейная, но имеет непрерывную вторую производную, тогда в общем случае ни одна из них не является гауссовой, и их совместное распределение также не является гауссовым. Однако, поскольку — гауссово, мы все равно можем обнаружить — гауссово. Это неверно, когда — конечно, но когда становится бесконечно малой, это становится верным.${\displaystyle X_{t},X_{t+dt}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(X_{t}),f(X_{t+dt})}$${\displaystyle X_{t+dt}\mid X_{t}}$${\displaystyle f(X_{t+dt})\mid f(X_{t})}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle dt}$

Ключевая идея заключается в том, что имеет детерминированную часть и шумовую часть. Когда нелинейно, шумовая часть имеет детерминированный вклад. Если выпукло, то детерминированный вклад положителен (по неравенству Йенсена ).${\displaystyle X_{t+dt}=X_{t}+\mu _{t}\,dt+dW_{t}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Чтобы узнать, насколько велик вклад, мы записываем , где — стандартная гауссовская функция, затем выполняем разложение Тейлора. Мы разделили ее на две части: детерминированную часть и случайную часть со средним значением 0. Случайная часть не является гауссовой, но негауссовские части затухают быстрее, чем гауссовская часть, и в пределе остается только гауссовская часть. Детерминированная часть имеет ожидаемое , но также часть, вносимую выпуклостью: .${\displaystyle X_{t+dt}=X_{t}+\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z}$${\displaystyle z}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t+dt})&=f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt+f'(X_{t})\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})(\sigma _{t}^{2}z^{2}\,dt+2\mu _{t}\sigma _{t}z\,dt^{3/2}+\mu _{t}^{2}dt^{2})+o(dt)\\&=\left(f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt+o(dt)\right)+\left(f'(X_{t})\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}(z^{2}-1)\,dt+o(dt)\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle dt\to 0}$${\displaystyle f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt}$

Чтобы понять, почему должен быть вклад из-за выпуклости, рассмотрим простейший случай геометрического броуновского блуждания (фондового рынка): . Другими словами, . Пусть , тогда , и является броуновским блужданием. Однако, хотя ожидание остается постоянным, ожидание растет. Интуитивно это происходит потому, что падение ограничено нулем, а рост неограничен. То есть, в то время как распределено нормально, распределено логарифмически нормально .${\displaystyle S_{t+dt}=S_{t}(1+dB_{t})}$${\displaystyle d(\ln S_{t})=dB_{t}}$${\displaystyle X_{t}=\ln S_{t}}$${\displaystyle S_{t}=e^{X_{t}}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle S_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle S_{t}}$

В следующих подразделах мы обсудим версии леммы Ито для различных типов случайных процессов.

В простейшей форме лемма Ито утверждает следующее: для процесса дрейфа-диффузии Ито

${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}}$

и любая дважды дифференцируемая скалярная функция f ( t , x ) двух действительных переменных t и x , имеет место

${\displaystyle df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}.}$

Это немедленно подразумевает, что f ( t , X _t ) сам по себе является процессом дрейфа-диффузии Ито.

В более высоких измерениях, если это вектор процессов Ито, такой что${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=(X_{t}^{1},X_{t}^{2},\ldots ,X_{t}^{n})^{T}}$

${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}_{t}\,dt+\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}}$

для вектора и матрицы лемма Ито утверждает, что${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{t}}$${\displaystyle \mathbf {G} _{t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}df(t,\mathbf {X} _{t})&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}\left(d\mathbf {X} _{t}\right)^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\,d\mathbf {X} _{t},\\[4pt]&=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}}+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}{\boldsymbol {\mu }}_{t}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\mathbf {G} _{t}^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\mathbf {G} _{t}\right]\right\}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}\end{aligned}}}$

где — градиент f wrt X , H _X f — матрица Гессе f wrt X , а Tr — оператор следа .${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }f}$

Мы также можем определить функции для разрывных случайных процессов.

Пусть h будет интенсивностью скачка. Модель процесса Пуассона для скачков заключается в том, что вероятность одного скачка в интервале [ t , t + Δ t ] равна h Δ t плюс члены более высокого порядка. h может быть константой, детерминированной функцией времени или стохастическим процессом. Вероятность выживания p _s ( t ) — это вероятность того, что в интервале [0, t ] не произошло ни одного скачка . Изменение вероятности выживания равно

${\displaystyle dp_{s}(t)=-p_{s}(t)h(t)\,dt.}$

Так

${\displaystyle p_{s}(t)=\exp \left(-\int _{0}^{t}h(u)\,du\right).}$

Пусть S ( t ) — прерывистый стохастический процесс. Запишите значение S при приближении к t слева. Запишите не бесконечно малое изменение S ( t ) в результате скачка. Тогда${\displaystyle S(t^{-})}$${\displaystyle d_{j}S(t)}$

${\displaystyle d_{j}S(t)=\lim _{\Delta t\to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^{-}))}$

Пусть z будет величиной скачка и пусть будет распределением z . Ожидаемая величина скачка равна${\displaystyle \eta (S(t^{-}),z)}$

${\displaystyle E[d_{j}S(t)]=h(S(t^{-}))\,dt\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz.}$

Определим скомпенсированный процесс и мартингал как${\displaystyle dJ_{S}(t)}$

${\displaystyle dJ_{S}(t)=d_{j}S(t)-E[d_{j}S(t)]=S(t)-S(t^{-})-\left(h(S(t^{-}))\int _{z}z\eta \left(S(t^{-}),z\right)\,dz\right)\,dt.}$

Затем

${\displaystyle d_{j}S(t)=E[d_{j}S(t)]+dJ_{S}(t)=h(S(t^{-}))\left(\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz\right)dt+dJ_{S}(t).}$

Рассмотрим функцию процесса скачка dS ( t ) . Если S ( t ) скачет на Δs , то g ( t ) скачет на Δg . Δg выводится из распределения , которое может зависеть от , dg и . Часть скачка равна${\displaystyle g(S(t),t)}$${\displaystyle \eta _{g}()}$${\displaystyle g(t^{-})}$${\displaystyle S(t^{-})}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(t)-g(t^{-})=h(t)\,dt\int _{\Delta g}\,\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d\Delta g+dJ_{g}(t).}$

Если содержит дрейфовую, диффузионную и скачкообразную части, то лемма Ито для имеет вид${\displaystyle S}$${\displaystyle g(S(t),t)}$

${\displaystyle dg(t)=\left({\frac {\partial g}{\partial t}}+\mu {\frac {\partial g}{\partial S}}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial S^{2}}}+h(t)\int _{\Delta g}\left(\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d{\Delta }g\right)\,\right)dt+{\frac {\partial g}{\partial S}}\sigma \,dW(t)+dJ_{g}(t).}$

Лемма Ито для процесса, представляющего собой сумму процесса дрейфа-диффузии и процесса скачка, представляет собой просто сумму леммы Ито для отдельных частей.

Лемма Ито может быть применена также к общим d -мерным семимартингалам , которые не обязательно должны быть непрерывными. В общем случае семимартингал является процессом càdlàg , и в формулу необходимо добавить дополнительный член, чтобы гарантировать, что скачки процесса правильно заданы леммой Ито. Для любого процесса cadlag Y _t левый предел в t обозначается как Y _t− , что является непрерывным слева процессом. Скачки записываются как Δ Y _t = Y _t − Y _t− . Тогда лемма Ито утверждает, что если X = ( X ¹ , X ² , ..., X ^d ) является d -мерным семимартингалом, а f является дважды непрерывно дифференцируемой вещественной функцией на R ^{d ,} то f ( X ) является семимартингалом, и

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t})&=f(X_{0})+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-})\,dX_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^{i},X^{j}]_{s}\\&\qquad +\sum _{s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}\,\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}}$

Это отличается от формулы для непрерывных полумартингалов дополнительным членом, суммирующим скачки X , что гарантирует, что скачок правой части в момент времени t равен Δ f ( X _t ).

^{[ необходима цитата ]} Существует также версия этого для дважды непрерывно дифференцируемой в пространстве один раз во времени функции f, оцененной на (потенциально различных) ненепрерывных полумартингалах, которую можно записать следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t,X_{t}^{1},\ldots ,X_{t}^{d})={}&f(0,X_{0}^{1},\ldots ,X_{0}^{d})+\int _{0}^{t}{\dot {f}}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})d{s}\\&{}+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})\,dX_{s}^{(c,i)}\\&{}+{\frac {1}{2}}\sum _{i_{1},\ldots ,i_{d}=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i_{1},\ldots ,i_{d}}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})\,dX_{s}^{(c,i_{1})}\cdots X_{s}^{(c,i_{d})}\\&{}+\sum _{0<s\leq t}\left[f(s,X_{s}^{1},\ldots ,X_{s}^{d})-f({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})\right]\end{aligned}}}$

где обозначает непрерывную часть i- го полумартингала.${\displaystyle X^{c,i}}$

Говорят, что процесс S следует геометрическому броуновскому движению с постоянной волатильностью σ и постоянным дрейфом μ, если он удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению для броуновского движения B. Применение леммы Ито с дает${\displaystyle dS_{t}=\sigma S_{t}\,dB_{t}+\mu S_{t}\,dt}$${\displaystyle f(S_{t})=\log(S_{t})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}df&=f^{\prime }(S_{t})\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(S_{t})(dS_{t})^{2}\\[4pt]&={\frac {1}{S_{t}}}\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}(-S_{t}^{-2})(S_{t}^{2}\sigma ^{2}\,dt)\\[4pt]&={\frac {1}{S_{t}}}\left(\sigma S_{t}\,dB_{t}+\mu S_{t}\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\[4pt]&=\sigma \,dB_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)\,dt.\end{aligned}}}$

Из этого следует, что

${\displaystyle \log(S_{t})=\log(S_{0})+\sigma B_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t,}$

Возведение в степень дает выражение для S ,

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\sigma B_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t\right).}$

Поправочный член − ⁠σ2^​/2⁠ соответствует разнице между медианой и средним значением логнормального распределения или, что эквивалентно для этого распределения, геометрическим средним и арифметическим средним, причем медиана (геометрическое среднее) ниже. Это связано с неравенством AM–GM и соответствует логарифму, который является вогнутым (или выпуклым вверх), поэтому поправочный член может быть соответственно интерпретирован как поправка на выпуклость . Это бесконечно малая версия того факта, что годовая доходность меньше средней доходности, с разницей, пропорциональной дисперсии. См. геометрические моменты логнормального распределения ^{[ сломанный якорь ]} для дальнейшего обсуждения.

Тот же фактор ⁠σ2^​/2⁠ появляется вовспомогательных переменных d ₁ и d ₂ формулы Блэка–Шоулза и может быть интерпретировано как следствие леммы Ито.

Экспонента Долеанса -Дейда (или стохастическая экспонента) непрерывного семимартингала X может быть определена как решение СДУ dY = Y dX с начальным условием Y ₀ = 1. Иногда ее обозначают как Ɛ( X ) . Применение леммы Ито с f ( Y ) = log( Y ) дает

${\displaystyle {\begin{aligned}d\log(Y)&={\frac {1}{Y}}\,dY-{\frac {1}{2Y^{2}}}\,d[Y]\\[6pt]&=dX-{\tfrac {1}{2}}\,d[X].\end{aligned}}}$

Возведение в степень дает решение

${\displaystyle Y_{t}=\exp \left(X_{t}-X_{0}-{\tfrac {1}{2}}[X]_{t}\right).}$

Лемма Ито может быть использована для вывода уравнения Блэка-Шоулза для опциона . ^[2] Предположим, что цена акций следует геометрическому броуновскому движению, заданному стохастическим дифференциальным уравнением dS = S ( σdB + μ dt ) . Тогда, если стоимость опциона в момент времени t равна f ( t , S _t ), лемма Ито дает

${\displaystyle df(t,S_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left(S_{t}\sigma \right)^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS_{t}.}$

Термин ⁠∂ ф/∂ S⁠ dS представляет собой изменение стоимости во времени dt торговой стратегии, состоящей из удержания суммы ⁠∂ ф/∂ S⁠ акций. Если следовать этой торговой стратегии и предположить, что любые удерживаемые денежные средства растут по безрисковой ставке r , то общая стоимость V этого портфеля удовлетворяет SDE

${\displaystyle dV_{t}=r\left(V_{t}-{\frac {\partial f}{\partial S}}S_{t}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS_{t}.}$

Эта стратегия повторяет вариант, если V = f ( t , S ). Объединение этих уравнений дает знаменитое уравнение Блэка-Шоулза

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\sigma ^{2}S^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial f}{\partial S}}-rf=0.}$

Пусть будет двумерным процессом Ито с SDE:${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$

${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}=d{\begin{pmatrix}X_{t}^{1}\\X_{t}^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}dt+{\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}\,dB_{t}}$

Затем мы можем использовать многомерную форму леммы Ито, чтобы найти выражение для .${\displaystyle d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})}$

У нас есть и .${\displaystyle \mu _{t}={\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}}$

Мы устанавливаем и наблюдаем, что и${\displaystyle f(t,\mathbf {X} _{t})=X_{t}^{1}X_{t}^{2}}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=0,\ (\nabla _{\mathbf {X} }f)^{T}=(X_{t}^{2}\ \ X_{t}^{1})}$${\displaystyle H_{\mathbf {X} }f={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

Подстановка этих значений в многомерную версию леммы дает нам:

${\displaystyle {\begin{aligned}d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})&=df(t,\mathbf {X} _{t})\\&=0\cdot dt+(X_{t}^{2}\ \ X_{t}^{1})\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}(dX_{t}^{1}\ \ dX_{t}^{2}){\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dX_{t}^{1}\\dX_{t}^{2}\end{pmatrix}}\\&=X_{t}^{2}\,dX_{t}^{1}+X_{t}^{1}dX_{t}^{2}+dX_{t}^{1}\,dX_{t}^{2}\end{aligned}}}$

Это обобщение правила произведения Лейбница на процессы Ито, которые недифференцируемы.

Далее, использование второй формы многомерной версии выше дает нам

${\displaystyle {\begin{aligned}d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})&=\left\{0+(X_{t}^{2}\ \ X_{t}^{1}){\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[(\sigma _{t}^{1}\ \ \sigma _{t}^{2}){\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}\right]\right\}\,dt+(X_{t}^{2}\sigma _{t}^{1}+X_{t}^{1}\sigma _{t}^{2})\,dB_{t}\\[5pt]&=\left(X_{t}^{2}\mu _{t}^{1}+X_{t}^{1}\mu _{t}^{2}+\sigma _{t}^{1}\sigma _{t}^{2}\right)\,dt+(X_{t}^{2}\sigma _{t}^{1}+X_{t}^{1}\sigma _{t}^{2})\,dB_{t}\end{aligned}}}$

Итак, мы видим, что продукт сам по себе является процессом дрейфа-диффузии Ито .${\displaystyle X_{t}^{1}X_{t}^{2}}$

Ганс Фёлльмер предоставил невероятностное доказательство формулы Ито и показал, что она справедлива для всех функций с конечной квадратичной вариацией. ^[3]

Пусть — вещественная функция и непрерывная справа функция с пределами слева и конечной квадратичной вариацией . Тогда${\displaystyle f\in C^{2}}$${\displaystyle x:[0,\infty ]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle [x]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{t})={}&f(x_{0})+\int _{0}^{t}f'(x_{s-})\,\mathrm {d} x_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{]0,t]}f''(x_{s-})\,d[x]_{s}\\&+\sum _{0\leq s\leq t}\left(f(x_{s})-f(x_{s-})-f'(x_{s-})\Delta x_{s}-{\frac {1}{2}}f''(x_{s-})(\Delta x_{s})^{2})\right).\end{aligned}}}$

где квадратичная вариация $x$ определяется как предел вдоль последовательности разбиений с шагом, уменьшающимся до нуля:${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle [0,t]}$

${\displaystyle [x](t)=\lim _{n\to \infty }\sum _{t_{k}^{n}\in D_{n}}\left(x_{t_{k+1}^{n}}-x_{t_{k}^{n}}\right)^{2}.}$

Рама Конт и Николас Перковски распространили формулу Ито на функции с конечной p-й вариацией: ^[4] Для непрерывной функции с конечной p-й вариацией

${\displaystyle [x]^{p}(t)=\lim _{n\to \infty }\sum _{t_{k}^{n}\in D_{n}}\left(x_{t_{k+1}^{n}}-x_{t_{k}^{n}}\right)^{p}}$

Формула замены переменной имеет вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{t})={}&f(x_{0})+\int _{0}^{t}\nabla _{p-1}f(x_{s-})\,\mathrm {d} x_{s}+{\frac {1}{p!}}\int _{]0,t]}f^{p}(x_{s-})\,d[x]_{s}^{p}\end{aligned}}}$

где первый интеграл определяется как предел компенсированных левых сумм Римана вдоль последовательности разбиений :${\displaystyle D_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{t}\nabla _{p-1}f(x_{s-})\,\mathrm {d} x_{s}:={}&\sum _{t_{k}^{n}\in D_{n}}\sum _{k=1}^{p-1}{\frac {f^{k}(x_{t_{k}^{n}})}{k!}}\left(x_{t_{k+1}^{n}}-x_{t_{k}^{n}}\right)^{k}.\end{aligned}}}$

Существует несколько расширений для бесконечномерных пространств (например, Парду, ^[5] Дьёндь-Крылов, ^[6] Бжезняк-ван Нирвен-Вераар-Вайс ^[7] ).

• процесс Винера
• Ито исчисление
• Формула Фейнмана–Каца
• Метод Эйлера–Маруямы

• Киёси Ито (1944). Стохастический интеграл. Proc. Imperial Acad. Tokyo 20 , 519–524. Это статья с формулой Ито; Онлайн
• Киёси Ито (1951). О стохастических дифференциальных уравнениях. Мемуары, Американское математическое общество 4 , 1–51. Онлайн
• Бернт Оксендал (2000). Стохастические дифференциальные уравнения. Введение с приложениями , 5-е издание, исправленное 2-е издание. Springer. ISBN 3-540-63720-6 . Разделы 4.1 и 4.2. 
• Philip E Protter (2005). Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения , 2-е издание. Springer. ISBN 3-662-10061-4 . Раздел 2.7. 

• Вывод, проф. Тейер Уоткинс
• Неформальное доказательство, optiontutor