Функтор обратного образа

В математике, в частности в алгебраической топологии и алгебраической геометрии , функтор обратного образа — это контравариантная конструкция пучков ; здесь «контравариантный» в том смысле, что задано отображение , функтор обратного образа — это функтор из категории пучков на Y в категорию пучков на X. Функтор прямого образа — это первичная операция на пучках с простейшим определением. Обратный образ демонстрирует некоторые относительно тонкие особенности. ф : Х → И {\displaystyle f:X\to Y}

Функторы изображений для пучков
прямое изображение ф ∗ {\displaystyle f_{*}}
обратное изображение f ∗ {\displaystyle f^{*}}
прямое изображение с компактной поддержкой ф ! {\displaystyle f_{!}}
исключительное обратное изображение Р ф ! {\displaystyle Rf^{!}}
ф ∗ ⇆ ф ∗ {\displaystyle f^{*}\leftrightarrows f_{*}}
( Р ) ф ! ⇆ ( Р ) ф ! {\displaystyle (R)f_{!}\leftrightarrows (R)f^{!}}
Теоремы об изменении базы

Определение

Предположим, что нам дан пучок на и мы хотим перенести его в с помощью непрерывного отображения . Г {\displaystyle {\mathcal {G}}} И {\displaystyle Y} Г {\displaystyle {\mathcal {G}}} Х {\displaystyle X} ф : Х → И {\displaystyle f\двоеточие от X до Y}

Мы назовем результат обратным образом или пучком тяги . Если мы попытаемся имитировать прямой образ , установив ф − 1 Г {\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}

ф − 1 Г ( У ) = Г ( ф ( У ) ) {\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U))}

для каждого открытого множества , мы немедленно сталкиваемся с проблемой: не обязательно открыто. Лучшее, что мы могли бы сделать, это аппроксимировать его открытыми множествами, и даже тогда мы получим предпучок , а не пучок. Следовательно, мы определяем как пучок, связанный с предпучком : У {\displaystyle U} Х {\displaystyle X} ф ( У ) {\displaystyle f(U)} ф − 1 Г {\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}

У ↦ лим → В ⊇ ф ( У ) ⁡ Г ( В ) . {\displaystyle U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).}

(Здесь представлено открытое подмножество , а копредел пробегает все открытые подмножества , содержащие . ) У {\displaystyle U} Х {\displaystyle X} В {\displaystyle V} И {\displaystyle Y} ф ( У ) {\displaystyle f(U)}

Например, если — это просто включение точки , то — это просто стебель в этой точке. ф {\displaystyle f} у {\displaystyle у} И {\displaystyle Y} ф − 1 ( Ф ) {\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})} Ф {\displaystyle {\mathcal {F}}}

Ограничение отображений, а также функториальность обратного образа вытекают из универсального свойства прямых пределов .

При работе с морфизмами локально окольцованных пространств , например, схемами в алгебраической геометрии , часто работают с пучками -модулей , где — структурный пучок . Тогда функтор не подходит, поскольку в общем случае он даже не дает пучков -модулей. Чтобы исправить это, в этой ситуации определяют для пучка -модулей его обратный образ с помощью ф : Х → И {\displaystyle f\двоеточие от X до Y} О И {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}} О И {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}} И {\displaystyle Y} ф − 1 {\displaystyle f^{-1}} О Х {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} О И {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}} Г {\displaystyle {\mathcal {G}}}

ф ∗ Г := ф − 1 Г ⊗ ф − 1 О И О Х {\displaystyle f^{*}{\mathcal {G}}:=f^{-1}{\mathcal {G}}\otimes _{f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}} .

Характеристики

  • Хотя определить сложнее, чем , стебли вычислить проще: если задана точка , то . ф − 1 {\displaystyle f^{-1}} ф ∗ {\displaystyle f_{\ast}} х ∈ Х {\displaystyle x\in X} ( ф − 1 Г ) х ≅ Г ф ( х ) {\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}}_{f(x)}}
  • ф − 1 {\displaystyle f^{-1}} является точным функтором , как видно из приведенного выше вычисления стеблей.
  • ф ∗ {\displaystyle f^{*}} (в общем случае) только справа точен. Если точен, f называется плоским . ф ∗ {\displaystyle f^{*}}
  • ф − 1 {\displaystyle f^{-1}} является левым сопряженным функтора прямого образа . Это подразумевает, что существуют естественные единичные и коединичные морфизмы и . Эти морфизмы дают естественное соответствие присоединения: ф ∗ {\displaystyle f_{\ast}} Г → ф ∗ ф − 1 Г {\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}} ф − 1 ф ∗ Ф → Ф {\displaystyle f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}
ЧАС о м С час ( Х ) ( ф − 1 Г , Ф ) = ЧАС о м С час ( И ) ( Г , ф ∗ Ф ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _ {\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}}, {\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{ \mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_ {*}{\mathcal {F}})} .

Однако морфизмы и почти никогда не являются изоморфизмами. Например, если обозначает включение замкнутого подмножества, то стебель в точке канонически изоморфен , если находится в , а в противном случае. Аналогичное присоединение справедливо для случая пучков модулей, заменяя на . Г → ф ∗ ф − 1 Г {\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}} ф − 1 ф ∗ Ф → Ф {\displaystyle f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}} я : З → И {\displaystyle i\двоеточие от Z\до Y} я ∗ я − 1 Г {\displaystyle i_{*}i^{-1}{\mathcal {G}}} y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} G y {\displaystyle {\mathcal {G}}_{y}} y {\displaystyle y} Z {\displaystyle Z} 0 {\displaystyle 0} i − 1 {\displaystyle i^{-1}} i ∗ {\displaystyle i^{*}}

Ссылки

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Inverse_image_functor&oldid=1237771593"