Матрица бесконечно малого вращения

Матрица бесконечно малого вращения или матрица дифференциального вращения — это матрица, представляющая бесконечно малое вращение .

В то время как матрица вращения является ортогональной матрицей, представляющей элемент ( специальной ортогональной группы ), дифференциал вращения является кососимметричной матрицей в касательном пространстве ( специальной ортогональной алгебре Ли ), которая сама по себе не является матрицей вращения.${\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}}$${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$

Бесконечно малая матрица вращения имеет вид

${\displaystyle I+d\theta \,A,}$

где - единичная матрица, исчезающе мала, и${\displaystyle Я}$${\displaystyle d\тета }$${\displaystyle A\in {\mathfrak {so}}(n).}$

Например, если представить бесконечно малое трехмерное вращение вокруг оси x , то базисный элемент${\displaystyle A=L_{x},}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3),}$

${\displaystyle dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

Правила вычисления для бесконечно малых матриц вращения такие же, как обычно, за исключением того, что бесконечно малые второго порядка обычно отбрасываются. С этими правилами эти матрицы не удовлетворяют всем тем же свойствам, что и обычные конечные матрицы вращения при обычной обработке бесконечно малых. ^[1] Оказывается, что порядок, в котором применяются бесконечно малые вращения, не имеет значения .

Бесконечно малая матрица вращения — это кососимметричная матрица , где:

• Поскольку любая матрица вращения имеет единственное действительное собственное значение, равное +1, соответствующий собственный вектор определяет ось вращения .
• Его модуль определяет бесконечно малое угловое смещение .

Форма матрицы следующая:$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&1&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&1\\\end{pmatrix}}}$$

С бесконечно малой матрицей вращения связан бесконечно малый тензор вращения :${\displaystyle А}$ ${\displaystyle d\Phi (t)=AI}$

$${\displaystyle d\Phi (t)={\begin{pmatrix}0&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t) &0&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}}$$

Разделив его на разницу во времени, получаем тензор угловой скорости :

${\displaystyle \Omega ={\frac {d\Phi (t)}{dt}}={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}(t)&\omega _{y}(t)\\\omega _{z}(t)&0&-\omega _{x}(t)\\-\omega _{y}(t)&\omega _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}}$

Эти матрицы не удовлетворяют всем тем же свойствам, что и обычные конечные матрицы вращения при обычной обработке бесконечно малых величин. ^[2] Чтобы понять, что это значит, рассмотрим

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

Сначала проверим условие ортогональности, Q ^T Q = I. Произведение равно

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }^{\textsf {T}}\,dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1+d\theta ^{2}&0\ \0&0&1+d\theta ^{2}\end{bmatrix}},}$

отличающаяся от единичной матрицы на бесконечно малые второго порядка, здесь отброшенные. Так, для первого порядка, бесконечно малая матрица вращения является ортогональной матрицей.

Далее рассмотрим квадрат матрицы,

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }^{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1-d\theta ^{2}&-2d\theta \\0&2\,d\theta &1-d \theta ^{2}\end{bmatrix}}.}$

Опять же, отбрасывая эффекты второго порядка, отметим, что угол просто удваивается. Это намекает на самое существенное различие в поведении, которое мы можем продемонстрировать с помощью второго бесконечно малого вращения,

${\displaystyle dA_{\mathbf {y} }={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\0&1&0\\-d\phi &0&1\end{bmatrix}}.}$

Сравните произведения dA _x  dA _y с dA _y  dA _x ,

${\displaystyle {\begin{aligned}dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }&={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\d\theta \,d\phi &1&- d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}\\dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} }&={\begin{bmatrix}1&d\theta \,d\phi &d\phi \\0&1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}.\\\end{aligned}}}$

Так как является вторым порядком, мы отбрасываем его: таким образом, для первого порядка, умножение бесконечно малых матриц вращения является коммутативным . Фактически,${\displaystyle d\theta \,d\phi }$

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }=dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} },}$

снова к первому порядку. Другими словами, порядок, в котором применяются бесконечно малые вращения, не имеет значения .

Этот полезный факт делает, например, вывод вращения твердого тела относительно простым. Но всегда нужно быть осторожным, чтобы отличать (обработку первого порядка) эти бесконечно малые матрицы вращения как от конечных матриц вращения, так и от элементов алгебры Ли. При сопоставлении поведения конечных матриц вращения в формуле Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа выше с поведением бесконечно малых матриц вращения, где все члены коммутатора будут бесконечно малыми второго порядка, мы находим добросовестное векторное пространство. Технически, это игнорирование любых членов второго порядка равносильно сокращению группы .

Предположим, что мы задаем ось вращения единичным вектором [ x , y , z ], и предположим, что у нас есть бесконечно малый поворот на угол Δ θ вокруг этого вектора. Расширяя матрицу вращения как бесконечное сложение и используя подход первого порядка, матрица вращения Δ R представляется как:

${\displaystyle \Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =I+A\,\Delta \theta .}$

Конечное вращение на угол θ вокруг этой оси можно рассматривать как последовательность малых вращений вокруг той же оси. Аппроксимируя Δ θ как θ / N , где N — большое число, вращение θ вокруг оси можно представить как:

${\displaystyle R=\left(I+{\frac {A\theta }{N}}\right)^{N}\approx e^{A\theta }.}$

Можно увидеть, что теорема Эйлера по сути утверждает, что все вращения могут быть представлены в этой форме. Произведение Aθ является «генератором» конкретного вращения, будучи вектором ( x , y , z ), связанным с матрицей A. Это показывает, что матрица вращения и формат оси-угла связаны экспоненциальной функцией.

Можно вывести простое выражение для генератора G. Начинаем с произвольной плоскости ^[3], определяемой парой перпендикулярных единичных векторов a и b . В этой плоскости можно выбрать произвольный вектор x с перпендикуляром y . Затем решаем для y через x и подставляем в выражение для вращения в плоскости, получаем матрицу вращения R , которая включает генератор G = ba ^T − ab ^T .

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos \left(\alpha \right)+b\sin \left(\alpha \right)\\y&=-a\sin \left(\alpha \right)+b\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\alpha \right)&=a^{\mathrm {T} }x\\\sin \left(\alpha \right)&=b^{\mathrm {T} }x\\y&=-ab^{\mathrm {T} }x+ba^{\mathrm {T} }x=\left(ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\right)x\\\\x'&=x\cos \left(\beta \right)+y\sin \left(\beta \right)\\&=\left[I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\right)\sin \left(\beta \right)\right]x\\\\R&=I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\right)\sin \left(\beta \right)\\&=I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\\\\G&=ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\\\end{aligned}}}$

Чтобы включить векторы вне плоскости во вращение, необходимо модифицировать приведенное выше выражение для R , включив два оператора проекции , которые разделяют пространство. Эту модифицированную матрицу вращения можно переписать как экспоненциальную функцию .

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{ab}&=-G^{2}\\R&=I-P_{ab}+\left[I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\right]P_{ab}=e^{G\beta }\\\end{aligned}}}$

Анализ часто проще в терминах этих генераторов, чем полной матрицы вращения. Анализ в терминах генераторов известен как алгебра Ли группы вращения.

Связь алгебры Ли с группой Ли осуществляется экспоненциальным отображением , которое определяется с помощью стандартного матричного экспоненциального ряда для e ^{A [4]} Для любой кососимметричной матрицы A , exp( A ) всегда является матрицей поворота. ^[a]

Важным практическим примером является случай 3 × 3. В группе вращений SO(3) показано, что можно отождествить каждый A ∈ so (3) с вектором Эйлера ω = θ u , где u = ( x , y , z ) — единичный вектор величины.

По свойствам идентификации su (2) ≅ R ³ , u находится в нулевом пространстве A. Таким образом, u остается инвариантным под действием exp( A ) и, следовательно, является осью вращения.

Используя формулу вращения Родригеса в матричной форме с θ = θ ⁄ 2 + θ ⁄ 2 , вместе со стандартными формулами двойного угла получаем,

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)&{}=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{smallmatrix}}\right]\right)={\boldsymbol {I}}+2\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}~{\boldsymbol {u\cdot L}}+2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}~({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2},\end{aligned}}}$

Это матрица для поворота вокруг оси u на угол θ в форме половинного угла. Для получения подробной информации см. экспоненциальную карту SO(3) .

Обратите внимание, что для бесконечно малых углов члены второго порядка можно игнорировать и остается exp( A ) = I + A

Кососимметричные матрицы над полем действительных чисел образуют касательное пространство к действительной ортогональной группе в единичной матрице; формально, специальную ортогональную алгебру Ли . В этом смысле кососимметричные матрицы можно рассматривать как бесконечно малые вращения .${\displaystyle O(n)}$

Другими словами, пространство кососимметричных матриц образует алгебру Ли группы Ли. Скобка Ли на этом пространстве задается коммутатором :${\displaystyle o(n)}$ ${\displaystyle O(n).}$

${\displaystyle [A,B]=AB-BA.\,}$

Легко проверить, что коммутатор двух кососимметричных матриц снова кососимметричен:

${\displaystyle {\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}}$

Тогда матричная экспонента кососимметричной матрицы является ортогональной матрицей :${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.}$

Образ экспоненциального отображения алгебры Ли всегда лежит в связной компоненте группы Ли, содержащей единичный элемент. В случае группы Ли эта связная компонента является специальной ортогональной группой, состоящей из всех ортогональных матриц с определителем 1. Поэтому будет иметь определитель +1. Более того, поскольку экспоненциальное отображение связной компактной группы Ли всегда сюръективно, оказывается, что каждая ортогональная матрица с единичным определителем может быть записана как экспонента некоторой кососимметричной матрицы. В особо важном случае размерности экспоненциальное представление для ортогональной матрицы сводится к хорошо известной полярной форме комплексного числа с единичным модулем. Действительно, если специальная ортогональная матрица имеет вид${\displaystyle O(n),}$ ${\displaystyle SO(n),}$${\displaystyle R=\exp(A)}$${\displaystyle n=2,}$${\displaystyle n=2,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},}$

с . Поэтому, положив и можно записать${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$${\displaystyle a=\cos \theta }$${\displaystyle b=\sin \theta ,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),}$

что в точности соответствует полярной форме комплексного числа единичного модуля.${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}$

Экспоненциальное представление ортогональной матрицы порядка также может быть получено исходя из того факта, что в размерности любая специальная ортогональная матрица может быть записана как где ортогональна, а S - блочно-диагональная матрица с блоками порядка 2, плюс один порядка 1, если нечетно; поскольку каждый отдельный блок порядка 2 также является ортогональной матрицей, он допускает экспоненциальную форму. Соответственно, матрица  S записывается как экспонента кососимметричной блочной матрицы вида выше, так что экспонента кососимметричной матрицы Наоборот, сюръективность экспоненциального отображения вместе с вышеупомянутой блочно-диагонализацией для кососимметричных матриц подразумевает блочно-диагонализацию для ортогональных матриц.${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R=QSQ^{\textsf {T}},}$${\displaystyle Q}$${\textstyle \lfloor n/2\rfloor }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle S=\exp(\Sigma ),}$${\displaystyle R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}}),}$${\displaystyle Q\Sigma Q^{\textsf {T}}.}$

• Генераторы вращений
• Бесконечно малые вращения
• Тензор бесконечно малого вращения
• Бесконечно малое преобразование
• Группа вращений SO(3)#Бесконечно малые вращения

• Голдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П.; Сафко, Джон Л. (2002), Классическая механика (третье изд.), Эддисон Уэсли , ISBN 978-0-201-65702-9
• Веддерберн, Джозеф Х. М. (1934), Лекции по матрицам, AMS , ISBN 978-0-8218-3204-2