Косвенное преобразование Фурье

В преобразовании Фурье (ПФ) преобразованная Фурье функция получается из : ф ^ ( с ) {\displaystyle {\hat {f}}(s)} ф ( т ) {\displaystyle f(t)}

ф ^ ( с ) = ∫ − ∞ ∞ ф ( т ) е − я с т г т {\displaystyle {\hat {f}}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-ist}dt}

где определяется как . может быть получено из с помощью обратного преобразования Фурье: я {\displaystyle я} я 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} ф ( т ) {\displaystyle f(t)} ф ^ ( с ) {\displaystyle {\hat {f}}(s)}

ф ( т ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ф ^ ( с ) е я с т г т {\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(s)e^{ist}dt}

с {\displaystyle с} и являются обратными переменными, например, частота и время. т {\displaystyle т}

Получение напрямую требует, чтобы было хорошо известно от до , наоборот. В реальных экспериментальных данных это бывает редко из-за шума и ограниченного диапазона измерений, скажем, известно от до . Выполнение FT на в ограниченном диапазоне может привести к систематическим ошибкам и переобучению. ф ^ ( с ) {\displaystyle {\hat {f}}(s)} ф ( т ) {\displaystyle f(t)} т = − ∞ {\displaystyle t=-\infty } т = ∞ {\displaystyle t=\infty } ф ( т ) {\displaystyle f(t)} а > − ∞ {\displaystyle a>-\infty } б < ∞ {\displaystyle b<\infty } ф ( т ) {\displaystyle f(t)}

Решением этой проблемы является косвенное преобразование Фурье (IFT).

Косвенное преобразование Фурье в малоугловом рассеянии

При малоугловом рассеянии на отдельных молекулах интенсивность измеряется и является функцией величины вектора рассеяния , где — угол рассеяния, а — длина волны входящего и рассеянного луча ( упругое рассеяние ). имеет единицы измерения 1/длина. связано с так называемым распределением расстояний между парами атомов через преобразование Фурье. представляет собой (взвешенную по рассеянию) гистограмму расстояний между парами атомов в молекуле. В одном измерении ( и являются скалярами ) и связаны соотношением: я ( г ) {\displaystyle I(\mathbf {r} )} д = | д | = 4 π грех ⁡ ( θ ) / λ {\displaystyle q=|\mathbf {q} |=4\pi \sin(\theta)/\lambda } 2 θ {\displaystyle 2\тета} λ {\displaystyle \лямбда} д {\displaystyle д} я ( д ) {\displaystyle I(q)} п ( г ) {\displaystyle p(r)} п ( г ) {\displaystyle p(r)} г {\displaystyle r} г {\displaystyle r} д {\displaystyle д} я ( д ) {\displaystyle I(q)} п ( г ) {\displaystyle p(r)}

я ( д ) = 4 π н ∫ − ∞ ∞ п ( г ) е − я д г потому что ⁡ ( ϕ ) г г {\displaystyle I(q)=4\pi n\int _{-\infty }^{\infty }p(r)e^{-iqr\cos(\phi )}dr}
п ( г ) = 1 2 π 2 н ∫ − ∞ ∞ ( ^ д г ) 2 я ( д ) е − я д г потому что ⁡ ( ϕ ) г д {\displaystyle p(r)={\frac {1}{2\pi ^{2}n}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {(}}qr)^{2}I(q)e^{-iqr\cos(\phi )}dq}

где — угол между и , а — плотность числа молекул в измеряемом образце. Образец усреднен по ориентации (обозначается ), и уравнение Дебая [1] может быть использовано для упрощения соотношений с помощью ϕ {\displaystyle \фи} д {\displaystyle \mathbf {q} } г {\displaystyle \mathbf {r} } н {\displaystyle n} ⟨ . . ⟩ {\displaystyle \langle ..\rangle }

⟨ е − я д г потому что ⁡ ( ϕ ) ⟩ = ⟨ е я д г потому что ⁡ ( ϕ ) ⟩ = грех ⁡ ( д г ) д г {\displaystyle \langle e^{-iqr\cos(\phi)}\rangle =\langle e^{iqr\cos(\phi)}\rangle = {\frac {\sin(qr)}{qr}} }

В 1977 году Глаттер предложил метод IFT для получения формы [ 2] , а три года спустя Мур представил альтернативный метод. [3] Другие позже представили альтернативные методы для IFT [4] и автоматизировали процесс [5] [6] п ( г ) {\displaystyle p(r)} я ( д ) {\displaystyle I(q)}

Метод Глаттера IFT

Это краткое описание метода, предложенного Отто Глаттером. [2] Для простоты мы далее используем. н = 1 {\displaystyle n=1}

При косвенном преобразовании Фурье дается предположение о наибольшем расстоянии в частице , а начальная функция распределения расстояний выражается как сумма кубических сплайн-функций, равномерно распределенных на интервале (0, ): Д м а х {\displaystyle D_{макс}} п я ( г ) {\displaystyle p_{i}(r)} Н {\displaystyle N} ϕ я ( г ) {\displaystyle \фи _{я}(г)} п я ( г ) {\displaystyle p_{i}(r)}

п я ( г ) = ∑ я = 1 Н с я ϕ я ( г ) , {\displaystyle p_{i}(r)=\sum _{i=1}^{N}c_{i}\phi _{i}(r),}
( 1 )

где - скалярные коэффициенты. Связь между интенсивностью рассеяния и имеет вид: с я {\displaystyle c_{i}} я ( д ) {\displaystyle I(q)} п ( г ) {\displaystyle p(r)}

я ( д ) = 4 π ∫ 0 ∞ п ( г ) грех ⁡ ( д г ) д г г г . {\displaystyle I(q)=4\pi \int _{0}^{\infty }p(r){\frac {\sin(qr)}{qr}}{\text{d}}r.}
( 2 )

Подставляя выражение для p i (r) (1) в (2) и используя, что преобразование из в линейно, получаем: п ( г ) {\displaystyle p(r)} я ( д ) {\displaystyle I(q)}

я ( д ) = 4 π ∑ я = 1 Н с я ψ я ( д ) , {\displaystyle I(q)=4\пи \сумма _{i=1}^{N}c_{i}\пси _{i}(q),}

где задается как: ψ я ( д ) {\displaystyle \psi _{i}(q)}

ψ я ( д ) = ∫ 0 ∞ ϕ я ( г ) грех ⁡ ( д г ) д г г г . {\displaystyle \psi _{i}(q)=\int _{0}^{\infty }\phi _{i}(r){\frac {\sin(qr)}{qr}}{\text{d}}r.}

' не изменяются при линейном преобразовании Фурье и могут быть подогнаны под данные, тем самым получая коэффициенты . Вставка этих новых коэффициентов в выражение для дает окончательное . Коэффициенты выбираются так, чтобы минимизировать подгонку, заданную как: с я {\displaystyle c_{i}} с я ф я т {\displaystyle c_{i}^{fit}} п я ( г ) {\displaystyle p_{i}(r)} п ф ( г ) {\displaystyle p_{f}(r)} с я ф я т {\displaystyle c_{i}^{fit}} χ 2 {\displaystyle \чи ^{2}}

χ 2 = ∑ к = 1 М [ я е х п е г я м е н т ( д к ) − я ф я т ( д к ) ] 2 σ 2 ( д к ) {\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{k=1}^{M}{\frac {[I_{experiment}(q_{k})-I_{fit}(q_{k})]^{2}}{\sigma ^{2}(q_{k})}}}

где — число точек данных, а — стандартные отклонения в точке данных . Задача подгонки некорректна , и очень осциллирующая функция дала бы самое низкое значение, несмотря на то, что она физически нереалистична. Поэтому вводится функция сглаживания : М {\displaystyle М} σ к {\displaystyle \сигма _{k}} к {\displaystyle к} χ 2 {\displaystyle \чи ^{2}} С {\displaystyle S}

С = ∑ я = 1 Н − 1 ( с я + 1 − с я ) 2 {\displaystyle S=\сумма _{i=1}^{N-1}(c_{i+1}-c_{i})^{2}} .

Чем больше колебания, тем выше . Вместо минимизации минимизируется лагранжиан, где множитель Лагранжа обозначается как параметр гладкости. Метод является косвенным в том смысле, что преобразование Фурье выполняется в несколько этапов : . С {\displaystyle S} χ 2 {\displaystyle \чи ^{2}} Л = χ 2 + α С {\displaystyle L=\chi ^{2}+\alpha S} α {\displaystyle \альфа} п я ( г ) → подгонка → п ф ( г ) {\displaystyle p_{i}(r)\rightarrow {\text{fitting}}\rightarrow p_{f}(r)}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Скарди, П.; Биллинге, С. Дж. Л.; Недер, Р.; Червеллино, А. (2016). «Празднование 100-летия уравнения рассеяния Дебая». Acta Crystallogr A. 72 ( 6): 589–590. doi : 10.1107/S2053273316015680 . hdl : 11572/171102 . PMID  27809198.
  2. ^ ab O. Glatter (1977). "Новый метод оценки данных малоуглового рассеяния". Журнал прикладной кристаллографии . 10 (5): 415–421. doi :10.1107/s0021889877013879.
  3. ^ PB Moore (1980). «Малоугловое рассеяние. Содержание информации и анализ ошибок». Журнал прикладной кристаллографии . 13 (2): 168–175. doi :10.1107/s002188988001179x.
  4. ^ S. Hansen, JS Pedersen (1991). "Сравнение трех различных методов анализа данных малоуглового рассеяния". Журнал прикладной кристаллографии . 24 (5): 541–548. doi : 10.1107/s0021889890013322 .
  5. ^ Б. Вестергаард и С. Хансен (2006). «Применение байесовского анализа к косвенному преобразованию Фурье при малоугловом рассеянии». Журнал прикладной кристаллографии . 39 (6): 797–804. doi :10.1107/S0021889806035291.
  6. ^ Петухов МВ и Франке Д. и Шкуматов АВ и Триа Г. и Кихней АГ и Гайда М. и Горба К. и Мертенс HDT и Конарев ПВ и Свергун ДИ (2012). "Новые разработки в программном пакете ATSAS для анализа данных малоуглового рассеяния". Журнал прикладной кристаллографии . 45 (2): 342–350. doi :10.1107/S0021889812007662. PMC 4233345. PMID  25484842 . 
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Косвенное_преобразование_Фурье&oldid=1170309858"