Инцидентность (геометрия)

В геометрии отношение инцидентности — это гетерогенное отношение , которое отражает идею, выраженную такими фразами, как «точка лежит на прямой» или «прямая содержится в плоскости». Самое простое отношение инцидентности — это отношение между точкой P $и$ прямой $l$ , иногда обозначаемое $P$ $I$ $l$ . Если P и l инцидентны, $P$ $I$ $l$ , пара $($ $P$ $,$ $l$ $)$ называется флагом .

В обычном языке существует множество выражений для описания инцидентности (например, прямая проходит через точку, точка лежит в плоскости и т. д.), но термин «инцидентность» предпочтительнее, поскольку он не имеет дополнительных коннотаций, которые имеют эти другие термины, и его можно использовать симметричным образом. Такие утверждения, как «прямая $l 1$ пересекает прямую $l 2$ », также являются утверждениями об отношениях инцидентности, но в данном случае это потому, что это сокращенный способ сказать, что «существует точка $P$ , инцидентная как прямой $l 1 ,$ так и прямой $l 2$ ». Когда один тип объекта можно рассматривать как множество другого типа объекта ( а именно , плоскость представляет собой множество точек), то отношение инцидентности можно рассматривать как включение .

Такие утверждения, как «любые две прямые на плоскости встречаются», называются предложениями инцидентности . Это конкретное утверждение истинно в проективной плоскости , хотя и не истинно в евклидовой плоскости , где прямые могут быть параллельны . Исторически проективная геометрия была разработана для того, чтобы сделать предложения инцидентности истинными без исключений, таких как те, которые вызваны существованием параллелей. С точки зрения синтетической геометрии , проективная геометрия должна быть разработана с использованием таких предложений в качестве аксиом . Это наиболее значимо для проективных плоскостей из-за универсальной справедливости теоремы Дезарга в более высоких измерениях.

Напротив, аналитический подход заключается в определении проективного пространства на основе линейной алгебры и использовании однородных координат . Предложения инцидентности выводятся из следующего основного результата о векторных пространствах : если даны подпространства $U$ и $W$ (конечномерного) векторного пространства $V$ , размерность их пересечения равна $dim U + dim W - dim (U + W)$ . Принимая во внимание, что геометрическая размерность проективного пространства $P (V),$ связанного с $V ,$ равна $dim V - 1$ и что геометрическая размерность любого подпространства положительна, основное предложение инцидентности в этой ситуации может принять форму: линейные подпространства $L$ и $M$ проективного пространства $P$ встречаются при условии, что $dim L + dim M \geq dim P$ . ^[1]

Следующие разделы ограничиваются проективными плоскостями, определенными над полями , часто обозначаемыми как $PG(2, F)$ , где $F$ — поле, или $P 2 F$ . Однако эти вычисления могут быть естественным образом расширены до проективных пространств более высокой размерности, и поле может быть заменено телом ( или телом), при условии, что в этом случае умножение некоммутативно .

$ПГ(2, Ж)$

Пусть $V$ — трехмерное векторное пространство, определенное над полем $F.$ Проективная плоскость $P (V) = PG(2, F)$ состоит из одномерных векторных подпространств $V$ , называемых точками , и двумерных векторных подпространств $V$ , называемых прямыми . Инцидентность точки и прямой задается включением одномерного подпространства в двумерное подпространство.

Зафиксируем базис для $V$ так, чтобы мы могли описать его векторы как координатные тройки (относительно этого базиса). Одномерное векторное подпространство состоит из ненулевого вектора и всех его скалярных кратных. Ненулевые скалярные кратные, записанные как координатные тройки, являются однородными координатами данной точки, называемыми координатами точки . Относительно этого базиса пространство решений одного линейного уравнения ${(x, y, z) | ax + by + cz = 0$ } является двумерным подпространством $V$ , и, следовательно, линией $P (V)$ . Эта линия может быть обозначена координатами линии $[a, b, c]$ , которые также являются однородными координатами, поскольку ненулевые скалярные кратные дали бы ту же линию. Другие обозначения также широко используются. Координаты точек могут быть записаны как векторы-столбцы, $(x, y, z)$ ^T , с двоеточиями, $(x : y : z)$ , или с нижним индексом, $(x, y, z) P$ . Соответственно, координаты линий могут быть записаны как векторы-строки, $(a, b, c)$ , с двоеточиями, $[a : b : c]$ или с нижним индексом, $(a, b, c) L$ . Возможны и другие варианты.

Инцидентность выражена алгебраически

Если задана точка $P = (x, y, z)$ и прямая $l = [a, b, c]$ , записанные в терминах координат точки и прямой, то точка инцидентна прямой (часто записываемой как $P I l$ ), тогда и только тогда, когда:

ах + бай + cz = 0

.

Это можно выразить в других обозначениях так:

ax+by+cz=[a,b,c]\cdot (x,y,z)=(a,b,c)_{L}\cdot (x,y,z)_{P}=

=[a:b:c]\cdot (x:y:z)=(a,b,c)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.

Независимо от того, какая нотация используется, если однородные координаты точки и линии рассматривать просто как упорядоченные тройки, их инцидентность выражается как скалярное произведение, равное 0.

Прямая, инцидентная паре различных точек

Пусть $P 1$ и $P 2$ — пара различных точек с однородными координатами $(x 1, y 1, z 1)$ и $(x 2, y 2, z 2)$ соответственно. Эти точки определяют единственную линию $l$ с уравнением вида $ax + by + cz = 0$ и должны удовлетворять уравнениям:

ax 1 + by 1 + cz 1 = 0

и

ах 2 + бай 2 + cz 2 = 0

.

В матричной форме эту систему линейных уравнений можно выразить как:

\left({\begin{matrix}x&y&z\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right).

Эта система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель ,

\left|{\begin{matrix}x&y&z\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{matrix}}\right|=0.

Расширение этого детерминантного уравнения дает однородное линейное уравнение, которое должно быть уравнением линии $l$ . Поэтому с точностью до общего ненулевого постоянного множителя имеем $l = [a, b, c]$ где:

а = у1z2 - у2z1

,

​

​

​

​

​

​

б = х 2 z 1 - х 1 z 2

, и

с = х 1 у 2 - х 2 у 1

.

В терминах записи скалярного тройного произведения векторов уравнение этой линии можно записать как:

П \cdot П 1 \times П 2 = 0

,

где $P = (x, y, z)$ — общая точка.

Коллинеарность

Точки, инцидентные одной и той же прямой, называются коллинеарными . Множество всех точек, инцидентных одной и той же прямой, называется диапазоном .

Если $P 1 = (x 1, y 1, z 1), P 2 = (x 2, y 2, z 2)$ и $P 3 = (x 3, y 3, z 3)$ , то эти точки коллинеарны тогда и только тогда, когда

\left|{\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&z_{1} \\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{matrix}}\right|=0,

т. е. тогда и только тогда, когда определитель однородных координат точек равен нулю.

Пересечение пары линий

Пусть $l 1 = [a 1, b 1, c 1]$ и $l 2 = [a 2, b 2, c 2]$ — пара различных прямых. Тогда пересечение прямых $l 1$ и $l 2$ — это точка a $P = (x 0, y 0, z 0)$ , которая является совместным решением (с точностью до скалярного множителя) системы линейных уравнений:

а 1 x + b 1 y + c 1 z = 0

и

а 2 x + b 2 y + c 2 z = 0

.

Решение этой системы дает:

х 0 = b 1 c 2 - b 2 c 1

,

у 0 = а 2 с 1 - а 1 с 2

, и

z 0 = а 1 б 2 - а 2 б 1

.

В качестве альтернативы рассмотрим другую линию $l = [a, b, c],$ проходящую через точку $P$ , то есть однородные координаты точки $P$ удовлетворяют уравнению:

ах + бай + cz = 0

.

Объединяя это уравнение с двумя, которые определяют $P$ , мы можем искать нетривиальное решение матричного уравнения:

\left({\begin{matrix}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right).

Такое решение существует при условии, что определитель,

\left|{\begin{matrix}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right|=0.

Коэффициенты $a, b$ и $c$ в этом уравнении дают однородные координаты $P.$

Уравнение общей прямой, проходящей через точку $P,$ в записи скалярного тройного произведения имеет вид:

л \cdot л 1 \times л 2 = 0

.

Согласие

Прямые, которые встречаются в одной точке, называются параллельными . Множество всех прямых на плоскости, инцидентных одной точке, называется пучком прямых с центром в этой точке. Вычисление пересечения двух прямых показывает, что весь пучок прямых с центром в точке определяется любыми двумя прямыми, которые пересекаются в этой точке. Отсюда немедленно следует, что алгебраическое условие для трех прямых, $[a 1, b 1, c 1], [a 2, b 2, c 2], [a 3, b 3, c 3],$ чтобы быть параллельными, заключается в том, что определитель,

\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{matrix}}\right|=0.

Смотрите также

Теорема Менелая
Теорема Чевы
Конциклический
Задача Хопкрофта о нахождении инциденций точки и прямой
Матрица инцидентности
Алгебра инцидентности
Структура заболеваемости
Геометрия падения
график Леви
Аксиомы Гильберта

Ссылки

^ Джоэл Г. Бройда и С. Гилл Уильямсон (1998) Всестороннее введение в линейную алгебру , теорема 2.11, стр. 86, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5 . Теорема гласит, что $dim (L + M) = dim L + dim M - dim (L \cap M)$ . Таким образом, $dim L + dim M > dim P$ влечет $dim (L \cap M) > 0$ .

Гарольд Л. Дорварт (1966) Геометрия падения , Прентис Холл .

[1] Джоэл Г. Бройда и С. Гилл Уильямсон (1998) Всестороннее введение в линейную алгебру , теорема 2.11, стр. 86, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5 . Теорема гласит, что $dim (L + M) = dim L + dim M - dim (L \cap M)$ . Таким образом, $dim L + dim M > dim P$ влечет $dim (L \cap M) > 0$ .