Модус поненс
Правило логического вывода

Модус поненс
Тип
Поле
Заявление П {\displaystyle P} подразумевает . верно. Следовательно, также должно быть верно. В {\displaystyle Q} П {\displaystyle P} В {\displaystyle Q}
Символическое заявление П → В , П ⊢   В {\displaystyle P\to Q,\;P\;\vdash \ Q}
Правила трансформации
Пропозициональное исчисление
Правила вывода
Правила замены
Логика предикатов
Правила вывода

В пропозициональной логике modus ponens ( / ˈ m oʊ d ə s ˈ p oʊ n ɛ n z / ; MP ) , также известный как modus ponendo ponens (от латинского  «способ, который посредством утверждения утверждает»), [1] устранение импликации или подтверждение антецедента , [2] является формой дедуктивного аргумента и правилом вывода . [3] Его можно обобщить как « P влечет Q. P истинно. Следовательно, Q также должно быть истинным».

Modus ponens — это смешанный гипотетический силлогизм , тесно связанный с другой допустимой формой аргументации, modus tollens . Оба имеют, по-видимому, похожие, но недопустимые формы: утверждение следствия и отрицание антецедента . Конструктивная дилемма — это дизъюнктивная версия modus ponens .

История modus ponens восходит к античности . [4] Первым, кто явно описал форму аргумента modus ponens, был Теофраст . [5] Она, наряду с modus tollens , является одной из стандартных моделей вывода, которая может быть применена для выведения цепочек заключений, ведущих к желаемой цели.

Объяснение

Форма аргумента modus ponens представляет собой смешанный гипотетический силлогизм с двумя посылками и заключением:

  1. Если П , то Q.
  2. П .
  3. Следовательно , Q.

Первая предпосылка — это условное («если–то») утверждение, а именно, что P подразумевает Q. Вторая предпосылка — это утверждение, что P , антецедент условного утверждения, имеет место. Из этих двух предпосылок можно логически заключить, что Q , консеквент условного утверждения, также должен иметь место.

Пример аргумента, соответствующего форме modus ponens :

  1. Если сегодня вторник, то Джон пойдет на работу.
  2. Сегодня вторник.
  3. Поэтому Джон пойдет на работу.

Этот аргумент верен , но это не имеет никакого отношения к тому, являются ли какие-либо утверждения в аргументе фактически истинными ; для того, чтобы modus ponens был обоснованным аргументом, посылки должны быть истинными для любых истинных случаев заключения. Аргумент может быть обоснованным, но тем не менее необоснованным, если одна или несколько посылок ложны; если аргумент верен и все посылки истинны, то аргумент является обоснованным. Например, Джон может пойти на работу в среду. В этом случае обоснование того, что Джон пойдет на работу (потому что сегодня среда), необоснованно. Аргумент обоснован только по вторникам (когда Джон идет на работу), но действителен в каждый день недели. Пропозициональный аргумент, использующий modus ponens, называется дедуктивным .

В исчислениях последовательностей с одним выводом modus ponens — это правило Cut. Теорема об устранении сечения для исчисления гласит, что каждое доказательство, включающее Cut, может быть преобразовано (в общем случае конструктивным методом) в доказательство без Cut, и, следовательно, Cut допустим .

Соответствие Карри–Ховарда между доказательствами и программами связывает modus ponens с применением функций : если f — функция типа P → Q , а x имеет тип P , то fx имеет тип Q.

В искусственном интеллекте modus ponens часто называют прямой цепочкой .

Формальная запись

Правило modus ponens можно записать в секвенциальной записи как

П → В , П ⊢ В {\displaystyle P\to Q,\;P\;\;\vdash \;\;Q}

где P , Q и P → Q являются утверждениями (или предложениями) на формальном языке, а ⊢ — металогический символ, означающий, что Q является синтаксическим следствием P и P → Q в некоторой логической системе .

Обоснование с помощью таблицы истинности

Обоснованность modus ponens в классической двузначной логике можно наглядно продемонстрировать с помощью таблицы истинности .

пдр → д
ТТТ
ТФФ
ФТТ
ФФТ

В примерах modus ponens мы предполагаем в качестве предпосылок, что p → q истинно и p истинно. Только одна строка таблицы истинности — первая — удовлетворяет этим двум условиям ( p и p → q ). На этой строке q также истинно. Следовательно, всякий раз, когда p → q истинно и p истинно, q также должно быть истинным.

Статус

Хотя modus ponens является одной из наиболее часто используемых форм аргумента в логике, ее не следует путать с логическим законом; скорее, это один из принятых механизмов построения дедуктивных доказательств, который включает «правило определения» и «правило подстановки». [6] Modus ponens позволяет исключить условное утверждение из логического доказательства или аргумента (антецеденты) и тем самым не переносить эти антецеденты вперед в постоянно удлиняющейся цепочке символов; по этой причине modus ponens иногда называют правилом отсоединения [7] или законом отсоединения . [8] Эндертон, например, замечает, что «modus ponens может производить более короткие формулы из более длинных», [9] а Рассел замечает, что «процесс вывода не может быть сведен к символам. Его единственной записью является возникновение ⊦q [консеквента] ... вывод - это отбрасывание истинной посылки; это растворение импликации». [10]

Обоснованием «доверия к выводу является убеждение, что если два предыдущих утверждения [антецеденты] не являются ошибочными, то и окончательное утверждение [консеквент] не является ошибочным». [10] Другими словами: если одно утверждение или предложение подразумевает второе, и первое утверждение или предложение истинно, то второе также истинно. Если P подразумевает Q и P истинно, то Q истинно. [11]

Соответствие другим математическим структурам

Алгебраическая семантика

В математической логике алгебраическая семантика рассматривает каждое предложение как имя элемента в упорядоченном множестве. Обычно множество можно визуализировать как решетчатую структуру с одним элементом («всегда истинным») наверху и другим одним элементом («всегда ложным») внизу. Логическая эквивалентность становится тождеством, так что когда и , например, эквивалентны (как это стандартно), то . Логическая импликация становится вопросом относительного положения: логически подразумевает только в случае , т. е. когда либо или else лежит ниже и соединено с ним восходящим путем. ¬ ( П ∧ В ) {\displaystyle \neg {(P\wedge Q)}} ¬ П ∨ ¬ В {\displaystyle \neg {P} \vee \neg {Q}} ¬ ( П ∧ В ) = ¬ П ∨ ¬ В {\displaystyle \neg {(P\wedge Q)}=\neg {P}\vee \neg {Q}} П {\displaystyle P} В {\displaystyle Q} П ≤ В {\displaystyle P\leq Q} П = В {\displaystyle P=Q} П {\displaystyle P} В {\displaystyle Q}

В этом контексте сказать, что и вместе подразумевают — то есть подтвердить modus ponens как действительный — значит сказать, что наивысшая точка, которая лежит ниже обоих и лежит ниже , т. е. что . [a] В семантике базовой пропозициональной логики алгебра является булевой , с истолкованным как материальное условное : . Подтверждение того, что тогда является простым, поскольку и . При других трактовках семантика становится более сложной, алгебра может быть небулевой, и действительность modus ponens не может считаться само собой разумеющейся. П {\textstyle П} П → В {\displaystyle P\rightarrow Q} В {\displaystyle Q} П {\displaystyle P} П → В {\displaystyle P\rightarrow Q} В {\displaystyle Q} П ∧ ( П → В ) ≤ В {\displaystyle P\wedge (P\rightarrow Q)\leq Q} → {\displaystyle \rightarrow} П → В = ¬ П ∨ В {\displaystyle P\rightarrow Q=\neg {P}\vee Q} П ∧ ( П → В ) ≤ В {\displaystyle P\wedge (P\rightarrow Q)\leq Q} П ∧ ( П → В ) = П ∧ В {\displaystyle P\wedge (P\rightarrow Q)=P\wedge Q} P ∧ Q ≤ Q {\displaystyle P\wedge Q\leq Q} → {\displaystyle \rightarrow }

Исчисление вероятностей

Если и , то должно лежать в интервале . [b] [12] Для особого случая должно быть равно . Pr ( P → Q ) = x {\displaystyle \Pr(P\rightarrow Q)=x} Pr ( P ) = y {\displaystyle \Pr(P)=y} Pr ( Q ) {\displaystyle \Pr(Q)} [ x + y − 1 , x ] {\displaystyle [x+y-1,x]} x = y = 1 {\displaystyle x=y=1} Pr ( Q ) {\displaystyle \Pr(Q)} 1 {\displaystyle 1}

Субъективная логика

Modus ponens представляет собой пример оператора биномиального вывода в субъективной логике, выраженный как:

ω Q ‖ P A = ( ω Q | P A , ω Q | ¬ P A ) ⊚ ω P A , {\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\circledcirc \omega _{P}^{A}\,,}

где обозначает субъективное мнение о , выраженное источником , а условное мнение обобщает логическое следствие . Выведенное предельное мнение о обозначается как . Случай, когда является абсолютно ИСТИННЫМ мнением о , эквивалентен исходному высказыванию, что ИСТИНА, а случай, когда является абсолютно ЛОЖНЫМ мнением о , эквивалентен исходному высказыванию, что ЛОЖЬ. Оператор вывода субъективной логики производит абсолютно ИСТИННОЕ выведенное мнение , когда условное мнение является абсолютно ИСТИННЫМ, а предшествующее мнение является абсолютно ИСТИННЫМ. Следовательно, субъективная логическая дедукция представляет собой обобщение как modus ponens , так и закона полной вероятности . [13] ω P A {\displaystyle \omega _{P}^{A}} P {\displaystyle P} A {\displaystyle A} ω Q | P A {\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}} P → Q {\displaystyle P\to Q} Q {\displaystyle Q} ω Q ‖ P A {\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}} ω P A {\displaystyle \omega _{P}^{A}} P {\displaystyle P} A {\displaystyle A} P {\displaystyle P} ω P A {\displaystyle \omega _{P}^{A}} P {\displaystyle P} A {\displaystyle A} P {\displaystyle P} ⊚ {\displaystyle \circledcirc } ω Q ‖ P A {\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}} ω Q | P A {\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}} ω P A {\displaystyle \omega _{P}^{A}}

Предполагаемые случаи отказа

Философы и лингвисты выявили множество случаев, когда modus ponens , по-видимому, не работает. Ванн Макги, например, утверждал, что modus ponens может не работать для условных предложений, консеквенты которых сами являются условными предложениями. [14] Ниже приведен пример:

  1. «Гамлета» написал либо Шекспир , либо Гоббс .
  2. Если «Гамлета» написал либо Шекспир, либо Гоббс , то если Шекспир этого не сделал, то это сделал Гоббс.
  3. Следовательно, если Шекспир не написал «Гамлета» , это сделал Гоббс.

Поскольку Шекспир написал «Гамлета» , первая посылка верна. Вторая посылка также верна, поскольку, начиная с набора возможных авторов, ограниченного только Шекспиром и Гоббсом, и исключая одного из них, остается только другой. Однако вывод сомнителен, поскольку исключение Шекспира как автора « Гамлета» оставило бы множество возможных кандидатов, многие из которых являются более правдоподобными альтернативами, чем Гоббс (если if-thens в выводе читать как материальные условные предложения, вывод получается верным просто в силу ложного антецедента. Это один из парадоксов материальной импликации ).

Общая форма контрпримеров типа Макги к modus ponens — это просто , поэтому ; не обязательно, чтобы это была дизъюнкция, как в приведенном примере. То, что такие случаи представляют собой неудачи modus ponens, остается спорным мнением среди логиков, но мнения о том, как следует рассматривать такие случаи, различаются. [15] [16] [17] P , P → ( Q → R ) {\displaystyle P,P\rightarrow (Q\rightarrow R)} Q → R {\displaystyle Q\rightarrow R} P {\displaystyle P}

В деонтической логике некоторые примеры условного обязательства также поднимают вопрос о возможности отказа от modus ponens . Это случаи, когда условная посылка описывает обязательство, основанное на безнравственном или неосмотрительном действии, например, «Если Доу убьет свою мать, он должен сделать это мягко», для которого сомнительным безусловным заключением будет «Доу должен убить свою мать мягко». [18] Казалось бы, следует, что если Доу на самом деле мягко убивает свою мать, то по modus ponens он делает именно то, что он должен, безусловно, делать. Здесь снова отказ от modus ponens не является популярным диагнозом, но иногда его отстаивают. [19]

Возможные заблуждения

Ошибочное утверждение следствия является распространенным неверным толкованием modus ponens . [20]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Самая высокая точка, которая лежит ниже и является точкой « пересечения » и , обозначается как . X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X ∧ Y {\displaystyle X\wedge Y}
  2. ^ Поскольку подразумевается , всегда должно быть больше или равно , и поэтому будет больше или равно . А поскольку всегда должно быть меньше или равно , всегда должно быть меньше или равно . ¬ P {\displaystyle \neg P} P → Q {\displaystyle P\rightarrow Q} x {\displaystyle x} 1 − y {\displaystyle 1-y} x + y − 1 {\displaystyle x+y-1} 0 {\displaystyle 0} y {\displaystyle y} 1 {\displaystyle 1} x + y − 1 {\displaystyle x+y-1} x {\displaystyle x}

Ссылки

  1. ^ Стоун, Джон Р. (1996). Латынь для неграмотных: изгнание призраков мертвого языка . Лондон: Routledge. стр. 60. ISBN 0-415-91775-1.
  2. ^ "Оксфордская ссылка: подтверждение антецедента". Оксфордская ссылка .
  3. ^ Эндертон 2001:110
  4. ^ Сюзанна Бобзиен (2002). «Развитие Modus Ponens в древности», Phronesis 47, № 4, 2002.
  5. ^ «Древняя логика: предшественники Modus Ponens и Modus Tollens». Стэнфордская энциклопедия философии .
  6. ^ Альфред Тарский 1946:47. Также Эндертон 2001:110 и далее.
  7. ^ Тарский 1946:47
  8. ^ "Modus ponens - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 5 апреля 2018 г. .
  9. ^ Эндертон 2001:111
  10. ^ ab Уайтхед и Рассел 1927:9
  11. ^ Джаго, Марк (2007). Формальная логика . Humanities-Ebooks LLP. ISBN 978-1-84760-041-7.
  12. ^ Hailperin, Theodore (1996). Логика вероятностей предложений: происхождение, развитие, современное состояние и технические приложения . Лондон: Associated University Presses. стр. 203. ISBN 0934223459.
  13. ^ Аудун Йосанг 2016:92
  14. ^ Ванн Макги (1985). «Контрпример к Modus Ponens», The Journal of Philosophy 82, 462–471.
  15. ^ Синнотт-Армстронг, Мавр и Фогелин (1986). «Защита Modus Ponens», Философский журнал 83, 296–300.
  16. ^ DE Over (1987). «Предположение и предполагаемые контрпримеры к Modus Ponens», Анализ 47, 142–146.
  17. ^ Бледин (2015). «Modus Ponens Defended», The Journal of Philosophy 112, 462–471.
  18. ^ "Deontic Logic". 21 апреля 2010 г. Получено 30 января 2020 г. Стэнфордская энциклопедия философии .
  19. ^ Например, Колодни и Макфарлейн (2010). «Если и должны», The Journal of Philosophy 107, 115–143.
  20. ^ "Заблуждения | Интернет-энциклопедия философии". iep.utm.edu . Получено 6 марта 2020 г. .

Источники

  • Герберт Б. Эндертон, 2001, Математическое введение в логику, второе издание , Harcourt Academic Press, Берлингтон, Массачусетс, ISBN 978-0-12-238452-3 . 
  • Аудун Йосанг, 2016, Субъективная логика; Формализм рассуждений в условиях неопределенности Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1 
  • Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел 1927 Principia Mathematica до *56 (второе издание) издание в мягкой обложке 1962 г., Cambridge at the University Press, Лондон, Великобритания. ISBN и LCCCN отсутствуют.
  • Альфред Тарский 1946 Введение в логику и методологию дедуктивных наук 2-е издание, переиздано Dover Publications, Минеола, штат Нью-Йорк. ISBN 0-486-28462-X (pbk). 
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Modus_ponens&oldid=1270973198"