Гипотетический силлогизм

Гипотетический силлогизм
Тип	Силлогизм
Поле	Пропозициональное исчисление; Классическая логика; Интуиционистская логика; Большинство систем релевантной логики;
Заявление	Всякий раз, когда в строках доказательства встречаются символы , и , их можно поместить на следующую строку. П → В {\displaystyle P\to Q} В → Р {\displaystyle Q\to R} П → Р {\displaystyle P\to R}
Символическое заявление	П → В , В → Р ∴ П → Р {\displaystyle {\frac {P\to Q,Q\to R}{\therefore P\to R}}}

Силлогизм с условной посылкой(ами)

В классической логике гипотетический силлогизм — это допустимая форма аргумента , дедуктивный силлогизм с условным утверждением для одной или обеих его посылок . Древние ссылки указывают на работы Теофраста и Эвдема как на первое исследование этого вида силлогизмов. ^[1]^[2]

Типы

Гипотетические силлогизмы бывают двух типов: смешанные и чистые. Смешанный гипотетический силлогизм имеет две посылки: одно условное утверждение и одно утверждение, которое либо утверждает, либо отрицает антецедент или консеквент этого условного утверждения. Например,

Если П, то Q.

П.

∴ В.

В этом примере первая посылка является условным утверждением, в котором "P" является антецедентом, а "Q" - консеквентом. Вторая посылка "утверждает" антецедент. Вывод о том, что консеквент должен быть истинным, является дедуктивно верным .

Смешанный гипотетический силлогизм имеет четыре возможные формы, две из которых действительны, а две другие недействительны. Действительный смешанный гипотетический силлогизм либо утверждает антецедент ( modus ponens ), либо отрицает консеквент ( modus tollens ). Недействительный гипотетический силлогизм либо утверждает консеквент (ошибка обратного ) , либо отрицает антецедент (ошибка обратного ) .

Чистый гипотетический силлогизм — это силлогизм, в котором и посылки, и заключение являются условными утверждениями . Антецедент одной посылки должен соответствовать консеквенту другой, чтобы условное утверждение было действительным. Следовательно, условные утверждения содержат оставшийся антецедент как антецедент и оставшийся консеквент как консеквент .

Если П, то Q.

Если Q, то R.

∴ Если P, то R.

Пример на английском:

Если я не проснусь, то не смогу пойти на работу.

Если я не смогу ходить на работу, мне не заплатят.

Поэтому, если я не проснусь, то мне не заплатят.

Логика высказываний

В пропозициональной логике гипотетический силлогизм — это название допустимого правила вывода (часто сокращенно HS , а иногда также называемого цепным аргументом , цепным правилом или принципом транзитивности импликации ). Правило может быть сформулировано следующим образом:

{\frac {P\to Q,Q\to R}{\therefore P\to R}}

Другими словами, всякий раз, когда в строках доказательства встречаются символы « » и « » , « » можно поместить на следующую строку. $P\to Q$ $Q\to R$ $P\to R$

Применимость

Правило гипотетического силлогизма выполняется в классической логике , интуиционистской логике , большинстве систем релевантной логики и многих других системах логики. Однако оно выполняется не во всех логиках, включая, например, немонотонную логику , вероятностную логику и логику по умолчанию . Причина этого в том, что эти логики описывают отменяемые рассуждения , а условные конструкции, которые появляются в реальных контекстах, обычно допускают исключения, предположения по умолчанию, условия ceteris paribus или просто простую неопределенность.

Пример, взятый из Эрнеста В. Адамса, ^[3]

Если Джонс победит на выборах, Смит уйдет в отставку после выборов.
Если Смит умрет до выборов, выборы победит Джонс.
Если Смит умрет до выборов, он уйдет в отставку после выборов.

Очевидно, (3) не следует из (1) и (2). (1) верно по умолчанию, но не выполняется в исключительных обстоятельствах смерти Смита. На практике условные предложения реального мира всегда имеют тенденцию включать в себя предположения по умолчанию или контексты, и может быть невыполнимо или даже невозможно указать все исключительные обстоятельства, в которых они могут оказаться неверными. По аналогичным причинам правило гипотетического силлогизма не выполняется для контрфактуальных условных предложений .

Формальная запись

Правило вывода гипотетического силлогизма может быть записано в секвенциальной нотации, что представляет собой специализацию правила сечения:

{\frac {P\vdash Q\quad Q\vdash R}{P\vdash R}}

где - металогический символ и значение, являющееся синтаксическим следствием в некоторой логической системе ; $\vdash$ $A\vdash B$ $B$ $A$

и выражается как истинностно-функциональная тавтология или теорема пропозициональной логики :

((P\to Q)\land (Q\to R))\to (P\to R)

где , , и — предложения, выраженные в некоторой формальной системе . $P$ $Q$ $R$

Доказательство

Шаг	Предложение	Вывод
1	$P\to Q$	Данный
2	$Q\to R$	Данный
3	$P$	Условное доказательство предположения
4	$Q$	Модус поненс (1,3)
5	$R$	Модус поненс (2,4)
6	$P\to R$	Условное доказательство (3-5)

Альтернативные формы

Альтернативная форма гипотетического силлогизма, более полезная для классических систем исчисления высказываний с импликацией и отрицанием (т.е. без символа конъюнкции), выглядит следующим образом:

(ГС1)

(Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R))

Еще одна форма:

(ГС2)

(P\to Q)\to ((Q\to R)\to (P\to R))

Доказательство

Пример доказательств этих теорем в таких системах приведен ниже. Мы используем две из трех аксиом, используемых в одной из популярных систем, описанных Яном Лукасевичем . Доказательства опираются на две из трех аксиом этой системы:

(А1)

\phi \to \left(\psi \to \phi \right)

(А2)

\left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)

Доказательство (HS1) следующее:

(1) (пример (A1))

((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))))

(2) (пример (A2))

(p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))

(3) (из (1) и (2) по modus ponens )

(q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))

(4) (пример (A2))

((q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))))\to (((q\to r)\to (p\to (q\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))))

(5) (из (3) и (4) по modus ponens )

((q\to r)\to (p\to (q\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r)))

(6) (пример (A1))

(q\to r)\to (p\to (q\to r))

(7) (из (5) и (6) по modus ponens )

(q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))

Доказательство (HS2) приведено здесь .

Как метатеорема

Всякий раз, когда у нас есть две теоремы вида и , мы можем доказать их следующим образом: $T_{1}=(Q\to R)$ $T_{2}=(P\to Q)$ $(P\to R)$

(1) (пример доказанной выше теоремы)

(Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R)))

(2) (пример (T1))

Q\to R

(3) (из (1) и (2) по modus ponens)

(P\to Q)\to (P\to R)

(4) (пример (T2))

P\to Q

(5) (из (3) и (4) по modus ponens)

P\to R

Смотрите также

Ссылки

^ «История логики: Теофраст из Эреса» в Encyclopaedia Britannica Online .
^ Сюзанна Бобзиен, «Развитие Modus Ponens в древности: «От Аристотеля до 2-го века нашей эры», Phronesis, Том 47, № 4 (2002), стр. 359-394.
^ Адамс, Эрнест В. (1975). Логика условных предложений . Дордрехт: Reidel. С. 22.

Внешние ссылки

Индекс философии: Гипотетический силлогизм

[1] «История логики: Теофраст из Эреса» в Encyclopaedia Britannica Online .

[2] Сюзанна Бобзиен, «Развитие Modus Ponens в древности: «От Аристотеля до 2-го века нашей эры», Phronesis, Том 47, № 4 (2002), стр. 359-394.

[3] Адамс, Эрнест В. (1975). Логика условных предложений . Дордрехт: Reidel. С. 22.