Стодолларовые, стозначные задачи-челленджи

Задачи « Сто долларов, сто цифр» — это 10 задач по числовой математике, опубликованных в 2002 году Ником Трефетеном  (2002). Приз в размере 100 долларов был предложен тому, кто предложит самые точные решения, измеренные до 10 значащих цифр . Крайний срок для конкурса — 20 мая 2002 года. В конце концов, 20 команд решили все задачи идеально с требуемой точностью, а анонимный спонсор помог собрать необходимые призовые деньги. Задача и ее решения были подробно описаны в книге (Folkmar Bornemann, Dirk Laurie & Stan Wagon et al. 2004).

Из (Трефетен 2002):

1. ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{1}x^{-1}\cos \left(x^{-1}\log x\right)\,dx}$
2. Фотон, движущийся со скоростью 1 в плоскости xy, стартует в момент t = 0 в точке ( x , y ) = (0,5, 0,1) и направляется на восток. Вокруг каждой целочисленной точки решетки ( i , j ) в плоскости установлено круглое зеркало радиусом 1/3. На каком расстоянии от начала координат находится фотон в момент t = 10?
3. Бесконечная матрица A с элементами является ограниченным оператором на . Что такое ?${\displaystyle a_{11}=1,a_{12}=1/2,a_{21}=1/3,a_{13}=1/4,a_{22}=1/5,a_{31}=1/6,\dots }$${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle ||А||}$
4. Каков глобальный минимум функции${\displaystyle \exp \left(\sin \left(50x\right)\right)+\sin \left(60e^{y}\right)+\sin \left(70\sin x\right)+\sin \left(\sin \left(80y\right)\right)-\sin \left(10\left(x+y\right)\right)+1/4\left(x^{2}+y^{2}\right)}$
5. Пусть , где — гамма-функция, а — кубический полином, который наилучшим образом приближается на единичном круге в супремум-норме . Что такое ?${\displaystyle f(z)=1/\Гамма (z)}$${\displaystyle \Гамма (z)}$${\displaystyle p(z)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle ||.||_ {\infty }}$${\displaystyle ||fp||_ {\infty }}$
6. Блоха начинает с бесконечной двумерной целочисленной решетки и совершает смещенное случайное блуждание : на каждом шагу она прыгает на север или юг с вероятностью , на восток с вероятностью и на запад с вероятностью . Вероятность того, что блоха вернется в (0, 0) когда-нибудь во время своих блужданий, равна . Что такое ?${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle 1/4}$${\displaystyle 1/4+\varepsilon }$${\displaystyle 1/4-\varepsilon }$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle \varepsilon}$
7. Пусть A — матрица размером 20000×20000, элементы которой равны нулю везде, за исключением простых чисел 2, 3, 5, 7, ..., 224737 вдоль главной диагонали и числа 1 во всех позициях с . Каков элемент (1, 1) матрицы ?${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle |ij|=1,2,4,8,\dots,16384}$${\displaystyle А^{-1}}$
8. Квадратная пластина имеет температуру . В момент времени температура увеличивается до вдоль одной из четырех сторон, в то время как вдоль трех других сторон она поддерживается на уровне, а затем тепло поступает в пластину в соответствии с . Когда температура достигает центра пластины?${\displaystyle [-1,1]\times [-1,1]}$${\displaystyle u=0}$${\displaystyle т=0}$${\displaystyle u=5}$${\displaystyle u=0}$${\displaystyle u_{t}=\Delta u}$${\displaystyle u=1}$
9. Интеграл зависит от параметра α. Каково значение α на [0, 5], при котором I (α) достигает своего максимума?${\displaystyle I(\alpha )=\int _{0}^{2}\left[2+\sin \left(10\alpha \right)\right]x^{\alpha }\sin \left(\alpha /\left(2-x\right)\right)\,dx}$
10. Частица в центре прямоугольника 10×1 совершает броуновское движение (т. е. двумерное случайное блуждание с бесконечно малыми длинами шагов), пока не достигнет границы. Какова вероятность того, что она достигнет одного из концов, а не одной из сторон?

1. 0.3233674316
2. 0,9952629194
3. 1.274224152
4. −3.306868647
5. 0,2143352345
6. 0,06191395447
7. 0,7250783462
8. 0,4240113870
9. 0,7859336743
10. 3,837587979 × 10 ⁻⁷

Этим ответам были присвоены идентификаторы OEIS : A117231 , OEIS : A117232 , OEIS : A117233 , OEIS : A117234 , OEIS : A117235 , OEIS : A117236 , OEIS : A117237 , OEIS : A117238 , OEIS : A117239 и OEIS : A117240 в Онлайновой энциклопедии целочисленных последовательностей .

• Бейли, Д. Х.; Борвейн, Дж. М. (2003-09-22). «Примеры задач экспериментальной математики» (PDF) .
• Борнеманн, Ф. (2002-11-05). «Краткие замечания по решению стозначной задачи Трефетена» (PDF) .
• Борнеманн, Фолкмар; Лори, Дирк; Вагон, Стэн ; Вальдвогель, Йорг (2004). SIAM 100-значная задача: исследование высокоточных численных вычислений. Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). ISBN 978-0-89871-561-3. МР  2076374. Обзор (июнь 2005 г.) из Бюллетеня Американского математического общества .
• Лесли, М. (ред.) (2002). "NetWatch: Десятичное десятиборье". Science . 295 (5559): 1431d–1431. doi :10.1126/science.295.5559.1431d.
• Трефетен, Ник (2002). «Вызов на сто долларов и сто цифр» (PDF) . SIAM News . 35 (1): 65.
• Вайсштейн, Эрик В. «Задачи на сто долларов и стозначные числа». MathWorld .