Монотонность дома

Метод распределения мест в парламенте

Монотонность палаты ^[1]^{: 134–141} (также называемая монотонностью размера палаты ^[2] ) является свойством методов распределения . Это методы распределения мест в парламенте между федеральными штатами (или между политическими партиями ). Свойство гласит, что если количество мест в «палате» (парламенте) увеличивается, а метод повторно активируется, то ни один штат (или партия) не должен иметь меньше мест, чем раньше. Говорят, что метод, который не удовлетворяет монотонности палаты, имеет парадокс Алабамы .

В контексте выборов комитетов монотонность палаты часто называют монотонностью комитетов . Она заключается в том, что если размер комитета увеличивается, то все ранее избранные кандидаты остаются избранными.

Монотонность дома — это частный случай монотонности ресурса для ситуации, в которой ресурс состоит из идентичных дискретных элементов (мест).

Методы, нарушающие монотонность дома

Примером метода, нарушающего монотонность дома, является метод наибольшего остатка (= метод Гамильтона). Рассмотрим следующий пример с тремя состояниями:

		10 мест дом		11 мест дом
Состояние	Население	Справедливая доля	Сиденья	Справедливая доля	Сиденья
А	6	4.286	4	4.714	5
Б	6	4.286	4	4.714	5
С	2	1.429	2	1.571	1

При добавлении одного места в палату представителей доля штата C уменьшается с 2 до 1.

Это происходит потому, что увеличение числа мест увеличивает справедливую долю быстрее для крупных штатов, чем для мелких. В частности, справедливая доля для крупных A и B увеличилась быстрее, чем для мелких C. Поэтому дробные части для A и B увеличились быстрее, чем для C. Фактически, они обогнали дробь C, в результате чего C потерял свое место, поскольку метод проверяет, какие штаты имеют наибольшую оставшуюся дробь.

Это нарушение известно как парадокс Алабамы из-за истории его открытия. После переписи 1880 года , CW Seaton, главный клерк Бюро переписи населения США , рассчитал распределение для всех размеров Палаты представителей от 275 до 350 и обнаружил, что Алабама получит восемь мест при размере Палаты представителей 299, но только семь при размере Палаты представителей 300. ^[3]^{: 228–231}

Методы, удовлетворяющие условию монотонности дома

Методы распределения

Все методы с наивысшими средними (= методы делителей) удовлетворяют монотонности дома. ^[1]^{: Cor.4.3.1} Это легко увидеть, если рассмотреть реализацию методов делителей как последовательности выбора: когда добавляется место, единственным изменением является то, что последовательность выбора расширяется одним дополнительным выбором. Таким образом, все штаты сохраняют свои ранее выбранные места. Аналогично, методы индекса ранга , которые являются обобщениями методов делителей, удовлетворяют монотонности дома.

Более того, методы ограниченных делителей , которые являются вариантами методов делителей, в которых штат никогда не получает больше мест, чем его верхняя квота, также удовлетворяют монотонности домов. Примером может служить метод квот Балинского - Янга . ^[4]

Каждый метод распределения по домам может быть определен как рекурсивная функция размера дома h . ^[1]^{: Теор.7.2} Формально метод распределения является методом распределения по домам и удовлетворяет обеим квотам тогда и только тогда, когда он построен рекурсивно следующим образом ( определения и обозначения см. в математике распределения ): $M(\mathbf {t} ,h)$

$M(\mathbf {t} ,0)=0$ ;
Если , то находится путем предоставления мест некоторому одному штату , где: $M(\mathbf {t} ,h)=\mathbf {a}$ $M(\mathbf {t} ,h+1)$ $a_{i}+1$ ${\ displaystyle i \ in U (\ mathbf {t}, \ mathbf {a}) \ cap L (\ mathbf {t}, \ mathbf {a})}$
- $U(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )$ это набор штатов, которые могут получить дополнительное место, не нарушая свою верхнюю квоту для нового размера палаты;
- $L(\mathbf {t},\mathbf {a})$ это набор штатов, которые могут получить меньше своей нижней квоты для определенного будущего размера дома.

Каждый последовательный метод распределения является монотонным по дому. ^[2]^{: Подпункт 9.5}

Методы голосования с несколькими победителями

Последовательные правила голосования Фрагмена , как для бюллетеней одобрения, так и для ранжированных бюллетеней, являются комитетно-монотонными. То же самое относится к методу сложения Тиле и методу исключения Тиле. Однако метод оптимизации Тиле не является комитетно-монотонным. ^[5]^{: Sec.5}

Смотрите также

Монотонность ресурсов — обобщение монотонности домов на возможно различные элементы.
Критерий монотонности — другой критерий, используемый для ранжированных систем голосования.

Ссылки

^ abc Балински, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: встреча с идеалом «Один человек, один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9.
^ ab Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ред.), «Обеспечение системной согласованности: согласованность и парадоксы», Пропорциональное представление: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 159–183 , doi :10.1007/978-3-319-64707-4_9, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2021-09-02
^ Стайн, Джеймс Д. (2008). Как математика объясняет мир: руководство по силе чисел, от ремонта автомобилей до современной физики . Нью-Йорк: Smithsonian Books. ISBN 9780061241765.
^ Балински, М. Л.; Янг, Х. П. (1 августа 1975 г.). «Метод квотного распределения». The American Mathematical Monthly . 82 (7): 701– 730. doi : 10.1080/00029890.1975.11993911. ISSN 0002-9890.
^ Янсон, Сванте (12.10.2018). «Методы выборов Фрагмена и Тиле». arXiv : 1611.08826 [math.HO].

[:0-1] Балински, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: встреча с идеалом «Один человек, один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9.

[:1-2] Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ред.), «Обеспечение системной согласованности: согласованность и парадоксы», Пропорциональное представление: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 159–183 , doi :10.1007/978-3-319-64707-4_9, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2021-09-02

[Stein2008-3] Стайн, Джеймс Д. (2008). Как математика объясняет мир: руководство по силе чисел, от ремонта автомобилей до современной физики . Нью-Йорк: Smithsonian Books. ISBN 9780061241765.

[4] Балински, М. Л.; Янг, Х. П. (1 августа 1975 г.). «Метод квотного распределения». The American Mathematical Monthly . 82 (7): 701– 730. doi : 10.1080/00029890.1975.11993911. ISSN 0002-9890.

[:02-5] Янсон, Сванте (12.10.2018). «Методы выборов Фрагмена и Тиле». arXiv : 1611.08826 [math.HO].