Гомография (компьютерное зрение)

В области компьютерного зрения любые два изображения одной и той же плоской поверхности в пространстве связаны гомографией ( предполагая модель камеры-обскуры ). Это имеет множество практических применений, таких как ректификация изображений , регистрация изображений или движение камеры — вращение и трансляция — между двумя изображениями. После того, как резекция камеры была выполнена из оценочной матрицы гомографии, эта информация может использоваться для навигации или для вставки моделей 3D-объектов в изображение или видео, так что они визуализируются с правильной перспективой и кажутся частью исходной сцены (см. Дополненная реальность ).

У нас есть две камеры a и b , смотрящие на точки на плоскости. Переходя от проекции в b к проекции в a :${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle {}^{b}p_{i}=\left({}^{b}u_{i};{}^{b}v_{i};1\right)}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle {}^{a}p_{i}=\left({}^{a}u_{i};{}^{a}v_{i};1\right)}$${\displaystyle P_{i}}$

${\displaystyle {}^{a}p_{i}={\frac {{}^{b}z_{i}}{{}^{a}z_{i}}}K_{a}\cdot H_{ab}\cdot K_{b}^{-1}\cdot {}^{b}p_{i}}$

где и — координаты z точки P в каждом кадре камеры, а матрица гомографии задается выражением${\displaystyle {}^{a}z_{i}}$${\displaystyle {}^{b}z_{i}}$${\displaystyle H_{ab}}$

${\displaystyle H_{ab}=R-{\frac {tn^{T}}{d}}}$.

${\displaystyle R}$— матрица поворота, с помощью которой b поворачивается относительно a ; t — вектор перемещения от a к b ; n и d — нормальный вектор плоскости и расстояние от начала координат до плоскости соответственно. K _a и K _b — матрицы внутренних параметров камер .

На рисунке показана камера b, смотрящая на плоскость на расстоянии d . Примечание: Из рисунка выше, предполагая, что в качестве модели плоскости, есть проекция вектора вдоль , и равна . Так что . И мы имеем , где .${\displaystyle n^{T}P_{i}+d=0}$${\displaystyle n^{T}P_{i}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle -d}$${\displaystyle t=t\cdot 1=t\left(-{\frac {n^{T}P_{i}}{d}}\right)}$${\displaystyle H_{ab}P_{i}=RP_{i}+t}$${\displaystyle H_{ab}=R-{\frac {tn^{T}}{d}}}$

Эта формула действительна только если камера b не имеет вращения и перемещения. В общем случае, где и являются соответствующими вращениями и перемещениями камер a и b , а матрица гомографии становится${\displaystyle R_{a},R_{b}}$${\displaystyle t_{a},t_{b}}$${\displaystyle R=R_{a}R_{b}^{T}}$${\displaystyle H_{ab}}$

${\displaystyle H_{ab}=R_{a}R_{b}^{T}-{\frac {(-R_{a}*R_{b}^{T}*t_{b}+t_{a})n^{T}}{d}}}$

где d — расстояние камеры b до плоскости.

Когда область изображения, в которой вычисляется гомография, мала или изображение получено с большим фокусным расстоянием, аффинная гомография является более подходящей моделью смещения изображения. Аффинная гомография является особым типом общей гомографии, последняя строка которой зафиксирована на

${\displaystyle h_{31}=h_{32}=0,\;h_{33}=1.}$

• Прямое линейное преобразование
• Эпиполярная геометрия
• Особенность (компьютерное зрение)
• Фундаментальная матрица (компьютерное зрение)
• Поза (компьютерное зрение)
• Фотограмметрия

• O. Chum и T. Pajdla и P. Sturm (2005). "Геометрическая ошибка для гомографий" (PDF) . Компьютерное зрение и понимание изображений . 97 (1): 86– 102. doi :10.1016/j.cviu.2004.03.004.

• homest — это библиотека GPL C / C++ для надежной , нелинейной (на основе алгоритма Левенберга–Марквардта ) оценки гомографии по сопоставленным парам точек (Манолис Луракис).
• OpenCV — это полная ( открытая и бесплатная ) библиотека программного обеспечения для компьютерного зрения, которая содержит множество процедур, связанных с оценкой гомографии (cvFindHomography) и повторным проецированием (cvPerspectiveTransform).

• Серж Белонжи и Дэвид Кригман (2007) Объяснение оценки гомографии от кафедры компьютерных наук и инженерии Калифорнийского университета в Сан-Диего .
• А. Криминизи, И. Рейд и А. Зиссерман (1997) «Устройство для измерения плоскости», §3 Вычисление гомографии плоскости к плоскости, из Visual Geometry Group, Department of Engineering Science, Oxford University .
• Элан Дуброфски (2009) Оценка гомографии, магистерская диссертация , кафедра компьютерных наук, Университет Британской Колумбии .
• Ричард Хартли и Эндрю Зиссерман (2004) Multiple View Geometry от Visual Geometry Group, Оксфорд. Включает функции Matlab для расчета гомографии и фундаментальной матрицы (компьютерное зрение) .
• Учебник по GIMP – использование инструмента «Перспектива» от Билли Керра на YouTube . Показывает, как выполнить преобразование перспективы с помощью GIMP .
• Аллан Джепсон (2010) Плоские гомографии из Департамента компьютерных наук, Университет Торонто . Включает 2D-гомографию из четырех пар соответствующих точек, мозаику в обработке изображений, устранение перспективных искажений в компьютерном зрении, рендеринг текстур в компьютерной графике и вычисление плоских теней.
• Гомография переноса плоскости. Заметки по курсу CSE576 в Университете Вашингтона в Сиэтле .
• Этьен Винсент и Роберт Лаганьер (2000) Обнаружение плоских гомографий в паре изображений Архивировано 2016-03-04 в Wayback Machine из Школы информационных технологий и инженерии, Университет Оттавы . Описывает алгоритм обнаружения плоскостей в изображениях, использует метод случайного консенсуса выборки ( RANSAC ), описывает эвристики и итерации.