Главная премьера

В теории чисел домашнее простое число HP ( n ) целого числа n , большего 1, — это простое число, полученное путем многократного разложения на множители возрастающей конкатенации простых множителей , включая повторения. Промежуточный этап m в процессе определения HP( n ) обозначается как HPn ( m ). Например, HP(10) = 773, так как 10 множителей как 2×5 дают HP10(1) = 25, 25 множителей как 5×5 дают HP10(2) = HP25(1) = 55, 55 = 5×11 влечет HP10(3) = HP25(2) = HP55(1) = 511, а 511 = 7×73 дает HP10(4) = HP25(3) = HP55(2) = HP511(1) = 773, простое число. Некоторые источники используют альтернативную нотацию HPn для домашнего простого числа, опуская скобки. Исследования домашних простых чисел составляют второстепенную проблему в теории чисел. Ее вопросы служили тестовыми полями для реализации эффективных алгоритмов факторизации составных чисел , но на самом деле эта тема относится к развлекательной математике .

Нерешенной вычислительной проблемой по состоянию на 2016 год ^{[обновлять]}является вопрос о том, можно ли вычислить HP(49) = HP(77) на практике. Поскольку каждая итерация больше предыдущей до тех пор, пока не будет достигнуто простое число, факторизации обычно становятся все более сложными, пока не будет достигнут конец. По состоянию на август 2016 года ^{[обновлять]}стремление к HP(49) касается факторизации 251-значного составного множителя HP49(119) после того, как разрыв был достигнут 3 декабря 2014 года с вычислением HP49(117). ^[1] Это последовало за факторизацией HP49(110) 8 сентября 2012 года ^[2] и HP49(104) 11 января 2011 года, а также за предыдущими вычислениями, продолжавшимися большую часть десятилетия, в которых широко использовались вычислительные ресурсы. Подробности истории этого поиска, а также последовательности, ведущие к домашним простым числам для всех остальных чисел до 100, поддерживаются на сайте worldofnumbers Патрика Де Гиста. Вики, в первую очередь связанная с Великим интернет-поиском простых чисел Мерсенна, поддерживает все известные данные до 1000 в десятичной системе счисления, а также имеет списки для оснований от 2 до 9.

Простые числа в HP( n ) равны

2, 3, 211, 5, 23, 7, 3331113965338635107, 311, 773, 11, 223, 13, 13367, 1129, 31636373, 17, 233, 19, 3318308475676071413, 37, 211, 23, 331319, 773, 3251, 13367, 227, 29, 547, ... (последовательность A037274 в OEIS )

Помимо вычислительных задач, которым было посвящено так много времени, кажется, что абсолютное доказательство существования домашнего простого числа для любого конкретного числа может повлечь за собой его эффективное вычисление. В чисто эвристических терминах существование имеет вероятность 1 для всех чисел, но такая эвристика делает предположения о числах, взятых из самых разных процессов, которые, хотя они, вероятно, верны, не соответствуют стандарту доказательства, обычно требуемому от математических утверждений.

Характеристики

HP(n) = n для n простых чисел.

Ранняя история и дополнительная терминология

Хотя маловероятно, что эта идея не возникала много раз в прошлом, первой ссылкой в печати, по-видимому, является статья, написанная в 1990 году в небольшом и ныне несуществующем издании под названием Recreational and Educational Computation . Тот же человек, который написал эту статью, Джеффри Хелен, вернулся к этой теме в выпуске Journal of Recreational Mathematics за 1996–7 годы в статье под названием Family Numbers: Constructing Primes By Prime Factor Splicing , которая включала все результаты HP( n ) для n до 100, кроме тех, которые все еще не решены. Она также включала теперь уже устаревший список 3-значных нерешенных чисел (перечисленные 58 были сокращены ровно вдвое по состоянию на август 2012 года). Похоже, что эта статья в значительной степени ответственна за провоцирование попыток других разрешить случай с участием 49 и 77. Статья использует термины «дочерний» и «родительский» для описания составных чисел и простых чисел, к которым они приводят, причем числа, ведущие к одному и тому же домашнему простому числу, называются братьями и сестрами (даже если одно из них является итерацией другого), и называет количество итераций, необходимых для достижения родителя, постоянство числа под картой для получения домашнего простого числа, количество жизней . Краткая статья делает мало, кроме как излагает происхождение предмета, определяет термины, приводит пару примеров, упоминает технику и методы, используемые в то время, а затем предоставляет таблицы. Похоже, что г-н Де Гест несет ответственность за обозначения, которые используются сейчас. OEIS также использует «домашний» как термин для числа чисел, включая само простое число, которые имеют определенное простое число в качестве своего домашнего простого числа.

Смотрите также

Примечания

^ WraithX (3 декабря 2014 г.). "HP49(100)..." mersenneforum.org .
^ WraithX (8 сентября 2012 г.). "HP49(100)..." mersenneforum.org .

Ссылки

Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A037274 (Домашние простые числа: для n >= 2, a(n) = простое число, которое в итоге достигается, когда вы начинаете с n, объединяете его простые множители (A037276) и повторяете, пока не достигнете простого числа (a(n) = -1, если ни одно простое число не достигается))". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
http://www.worldofnumbers.com/topic1.htm
http://mathworld.wolfram.com/HomePrime.html
Главная Prime Поиск на Prime Wiki
J. Heleen, Семейство чисел: построение простых чисел путем разложения на простые множители, J. Rec. Math. , 28 , стр. 116–9, 1996-7
Дж. Хелен, Семейные числа: математические черные дыры, Recreational and Educational Computing, 5 :5, стр. 6, 1990

[1] WraithX (3 декабря 2014 г.). "HP49(100)..." mersenneforum.org .

[2] WraithX (8 сентября 2012 г.). "HP49(100)..." mersenneforum.org .