Голоморфное касательное расслоение

В математике , и особенно в комплексной геометрии , голоморфное касательное расслоение комплексного многообразия является голоморфным аналогом касательного расслоения гладкого многообразия . Слой голоморфного касательного расслоения над точкой является голоморфным касательным пространством , которое является касательным пространством базового гладкого многообразия, заданного структурой комплексного векторного пространства через почти комплексную структуру комплексного многообразия .${\displaystyle М}$ ${\displaystyle J}$${\displaystyle М}$

Для комплексного многообразия комплексной размерности его касательное расслоение как гладкое векторное расслоение является вещественным векторным расслоением ранга на . Интегрируемая почти комплексная структура, соответствующая комплексной структуре на многообразии, является эндоморфизмом со свойством . После комплексификации вещественного касательного расслоения до эндоморфизм может быть комплексно-линейно расширен до эндоморфизма, определяемого для векторов из .${\displaystyle М}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle ТМ}$${\displaystyle М}$${\displaystyle J}$${\displaystyle М}$${\displaystyle J:TM\to TM}$${\displaystyle J^{2}=-\operatorname {Id} }$${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} \to M}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J:TM\otimes \mathbb {C} \to TM\otimes \mathbb {C} }$${\displaystyle J(X+iY)=J(X)+iJ(Y)}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle ТМ}$

Так как , имеет собственные значения на комплексированном касательном расслоении и, следовательно, разлагается как прямая сумма${\displaystyle J^{2}=-\operatorname {Id} }$${\displaystyle J}$ ${\displaystyle я,-я}$${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} }$

${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} =T^{1,0}M\oplus T^{0,1}M}$

где - собственное расслоение , а -собственное расслоение . Голоморфное касательное расслоение - это векторное расслоение , а антиголоморфное касательное расслоение - это векторное расслоение .${\displaystyle Т^{1,0}М}$${\displaystyle я}$${\displaystyle Т^{0,1}М}$${\displaystyle -i}$${\displaystyle М}$${\displaystyle Т^{1,0}М}$${\displaystyle Т^{0,1}М}$

Векторные расслоения и являются естественными комплексными векторными подрасслоениями комплексного векторного расслоения , и их дуальные могут быть взяты. Голоморфное кокасательное расслоение является дуальным голоморфному касательному расслоению и записывается . Аналогично антиголоморфное кокасательное расслоение является дуальным антиголоморфному касательному расслоению и записывается . Голоморфное и антиголоморфное (ко)касательное расслоения меняются местами посредством сопряжения , что дает вещественно-линейный (но не комплексно-линейный!) изоморфизм .${\displaystyle Т^{1,0}М}$${\displaystyle Т^{0,1}М}$ ${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} }$${\displaystyle T_{1,0}^{*}M}$${\displaystyle T_{0,1}^{*}M}$${\displaystyle T^{1,0}M\to T^{0,1}M}$

Голоморфное касательное расслоение изоморфно как вещественное векторное расслоение ранга регулярному касательному расслоению . Изоморфизм задается композицией включения в комплексифицированное касательное расслоение, а затем проекции на -собственное расслоение.${\displaystyle Т^{1,0}М}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle ТМ}$${\displaystyle TM\hookrightarrow TM\otimes \mathbb {C} {\xrightarrow {\operatorname {pr} _{1,0}}}T^{1,0}M}$${\displaystyle я}$

Канонический пучок определяется как .${\displaystyle K_{M}=\Lambda ^{n}T_{1,0}^{*}M}$

В локальной голоморфной карте , имеются выделенные действительные координаты, определенные для каждого . Они дают выделенные комплекснозначные единичные формы на . Двойственными к этим комплекснозначным единичным формам являются комплекснозначные векторные поля (то есть сечения комплексифицированного касательного расслоения),${\displaystyle \varphi =(z^{1},\dots ,z^{n}):U\to \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{n},y^{1},\dots ,y^{n})}$${\displaystyle z^{j}=x^{j}+iy^{j}}$${\displaystyle j=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j}}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}-i{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+i{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).}$

Взятые вместе, эти векторные поля образуют фрейм для , ограничение комплексированного касательного расслоения на . Таким образом, эти векторные поля также разделяют комплексированное касательное расслоение на два подрасслоения${\displaystyle \left.TM\otimes \mathbb {C} \right|_{U}}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \left.T^{1,0}M\right|_{U}:=\operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial z^{j}}}\right\},\quad \left.T^{0,1}M\right|_{U}:=\operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}\right\}.}$

При голоморфной замене координат эти два подрасслоения сохраняются, и, таким образом, накрывая голоморфными картами, получаем расщепление комплексифицированного касательного расслоения. Это в точности расщепление на голоморфное и антиголоморфное касательное расслоение, описанное ранее. Аналогично комплекснозначные единичные формы и обеспечивают расщепление комплексифицированного кокасательного расслоения на голоморфное и антиголоморфное кокасательное расслоение.${\displaystyle \left.TM\otimes \mathbb {C} \right|_{U}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle dz^{j}}$${\displaystyle d{\bar {z}}^{j}}$

С этой точки зрения название голоморфное касательное расслоение становится прозрачным. А именно, функции перехода для голоморфного касательного расслоения с локальными рамками, порожденными , задаются матрицей Якоби функций перехода . Явно, если у нас есть две карты с двумя наборами координат , то ${\displaystyle \partial /\partial z^{j}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U_{\alpha },U_{\beta }}$${\displaystyle z^{j},w^{k}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial w^{k}}{\partial z^{j}}}{\frac {\partial }{\partial w^{k}}}.}$

Так как координатные функции голоморфны, то таковы и любые их производные, и поэтому функции перехода голоморфного касательного расслоения также голоморфны. Таким образом, голоморфное касательное расслоение является подлинным голоморфным векторным расслоением . Аналогично голоморфное кокасательное расслоение является подлинным голоморфным векторным расслоением с функциями перехода, заданными обратным транспонированием матрицы Якоби. Обратите внимание, что антиголоморфные касательное и кокасательное расслоения не имеют голоморфных функций перехода, но имеют антиголоморфные.

В терминах описанных локальных фреймов почти-комплексная структура действует следующим образом:${\displaystyle J}$

${\displaystyle J:{\frac {\partial }{\partial z^{j}}}\mapsto i{\frac {\partial }{\partial z^{j}}},\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}\mapsto -i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}},}$

или в реальных координатах по

${\displaystyle J:{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\mapsto {\frac {\partial }{\partial y^{j}}},\quad {\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\mapsto -{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}.}$

Поскольку голоморфные касательное и кокасательное расслоения имеют структуру голоморфных векторных расслоений, различают голоморфные сечения. Голоморфное векторное поле является голоморфным сечением . Голоморфная однократная форма является голоморфным сечением . Взяв внешние степени , можно определить голоморфные -формы для целых чисел . Оператор Коши-Римана для может быть расширен с функций до комплекснозначных дифференциальных форм, а голоморфные сечения голоморфного кокасательного расслоения согласуются с комплекснозначными дифференциальными -формами, которые аннулируются . Для получения более подробной информации см. комплексные дифференциальные формы .${\displaystyle T^{1,0}M}$${\displaystyle T_{1,0}^{*}M}$${\displaystyle T_{1,0}^{*}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (p,0)}$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

• Почти комплексное многообразие
• Эрмитово многообразие

• Хайбрехтс, Дэниел (2005). Сложная геометрия: Введение . Спрингер. ISBN 3-540-21290-6.
• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классики Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, г-н  1288523