Полая матрица

Несколько типов математических матриц, содержащих нули

В математике полая матрица может относиться к одному из нескольких родственных классов матриц : разреженная матрица; матрица с большим блоком нулей; или матрица, все диагональные элементы которой равны нулю.

Определения

Редкий

Полая матрица может быть матрицей с «несколькими» ненулевыми элементами: то есть разреженной матрицей . ^[1]

Блок нулей

Полая матрица может быть квадратной матрицей $n \times n$ с блоком нулей $r \times s , где$ $r + s > n$ . ^[2]

Все диагональные записи равны нулю

Полая матрица может быть квадратной матрицей , все диагональные элементы которой равны нулю. ^[3] То есть, матрица $n \times n$ $A = (a ij)$ является полой, если $a ij = 0$ всякий раз, когда $i = j$ (т.е. $a ii = 0$ для всех $i$ ). Наиболее очевидным примером является действительная кососимметричная матрица. Другими примерами являются матрица смежности конечного простого графа и матрица расстояний или евклидова матрица расстояний .

Другими словами, любая квадратная матрица, принимающая форму , является полой матрицей, где символ обозначает произвольную запись. ${\begin{pmatrix}0&\ast &&\ast &\ast \\\ast &0&&\ast &\ast \\&&\ddots \\\ast &\ast &&0&\ast \\\ast &\ast &&\ast &0\end{pmatrix}}$ $\аст$

Например, это полая матрица. ${\begin{pmatrix}0&2&6&{\frac {1}{3}}&4\\2&0&4&8&0\\9&4&0&2&933\\1&4&4&0&6\\7&9&23&8&0\end{pmatrix}}$

Характеристики

След полой матрицы равен нулю .
Если $A$ представляет собой $линейное$ отображение относительно фиксированного базиса , то оно отображает каждый базисный вектор $e$ в дополнение к диапазону e . То есть, где $L:V\to V$ $L(\langle e\rangle)\cap \langle e\rangle =\langle 0\rangle$ $\langle e\rangle =\{\lambda e:\lambda \in F\}.$
Теорема Гершгорина о круге показывает , что модули собственных значений полой матрицы меньше или равны сумме модулей элементов недиагональной строки.

Ссылки

^ Пьер Массе (1962). Оптимальные инвестиционные решения: правила действий и критерии выбора . Prentice-Hall . стр. 142.
^ Пол Кон (2006). Свободные идеальные кольца и локализация в общих кольцах . Cambridge University Press . стр. 430. ISBN 0-521-85337-0.
^ Джеймс Э. Джентл (2007). Матричная алгебра: теория, вычисления и приложения в статистике. Springer-Verlag . стр. 42. ISBN 978-0-387-70872-0.

Эта статья о матрицах — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

[1] Пьер Массе (1962). Оптимальные инвестиционные решения: правила действий и критерии выбора . Prentice-Hall . стр. 142.

[2] Пол Кон (2006). Свободные идеальные кольца и локализация в общих кольцах . Cambridge University Press . стр. 430. ISBN 0-521-85337-0.

[3] Джеймс Э. Джентл (2007). Матричная алгебра: теория, вычисления и приложения в статистике. Springer-Verlag . стр. 42. ISBN 978-0-387-70872-0.