Фильтр Ходрика–Прескотта
Математический инструмент, используемый в макроэкономике

Фильтр Ходрика–Прескотта (также известный как разложение Ходрика–Прескотта ) — это математический инструмент, используемый в макроэкономике , особенно в теории реального делового цикла , для удаления циклической составляющей временного ряда из необработанных данных. Он используется для получения сглаженного представления временного ряда , которое более чувствительно к долгосрочным, чем к краткосрочным колебаниям. Корректировка чувствительности тренда к краткосрочным колебаниям достигается путем изменения множителя . λ {\displaystyle \лямбда}

Фильтр был популяризирован в области экономики в 1990-х годах экономистами Робертом Дж. Ходриком и лауреатом Нобелевской премии Эдвардом К. Прескоттом [1] , хотя впервые он был предложен гораздо раньше Э. Т. Уиттакером в 1923 году [2]. Фильтр Ходрика-Прескотта является частным случаем сглаживающего сплайна [3] .

Уравнение

Обоснование методологии использует идеи, связанные с разложением временных рядов . Пусть для обозначают логарифмы переменной временного ряда. Ряд состоит из трендового компонента и циклического компонента, таких что . [4] При условии адекватно выбранного положительного значения , существует трендовый компонент, который решит у т {\displaystyle y_{t}\,} т = 1 , 2 , . . . , Т {\displaystyle t=1,2,...,T\,} у т {\displaystyle y_{t}\,} τ т {\displaystyle \tau _{t}} с т {\displaystyle c_{t}} у т   = τ т   + с т {\displaystyle y_{t}\ =\tau _{t}\ +c_{t}\,} λ {\displaystyle \лямбда}

мин τ ( ∑ т = 1 Т ( у т − τ т ) 2 + λ ∑ т = 2 Т − 1 [ ( τ т + 1 − τ т ) − ( τ т − τ т − 1 ) ] 2 ) . {\displaystyle \min _{\tau }\left(\sum _{t=1}^{T}{(y_{t}-\tau _{t})^{2}}+\lambda \sum _{t=2}^{T-1}{[(\tau _{t+1}-\tau _{t})-(\tau _{t}-\tau _{t-1})]^{2}}\right).\,}

Первый член уравнения — это сумма квадратов отклонений , которая штрафует циклическую составляющую. Второй член — это кратное суммы квадратов вторых разностей трендовой составляющей. Этот второй член штрафует изменения в темпах роста трендовой составляющей. Чем больше значение , тем выше штраф. Ходрик и Прескотт предлагают 1600 в качестве значения для квартальных данных. Равн и Улиг (2002) утверждают, что должно варьироваться в четвертой степени от отношения частоты наблюдений; таким образом, должно быть равно 6,25 (1600/4^4) для годовых данных и 129 600 (1600*3^4) для ежемесячных данных; [5] на практике для годовых данных и для ежемесячных данных обычно используются, однако. г т = у т − τ т {\displaystyle d_{t}=y_{t}-\tau _{t}} λ {\displaystyle \лямбда} λ {\displaystyle \лямбда} λ {\displaystyle \лямбда} λ {\displaystyle \лямбда} λ {\displaystyle \лямбда} λ = 100 {\displaystyle \лямбда =100} λ = 14 , 400 {\displaystyle \lambda =14,400}

Фильтр Ходрика–Прескотта явно задается формулой

ЧАС П = [ λ Л 2 − 4 λ Л + ( 1 + 6 λ ) − 4 λ Л − 1 + λ Л − 2 ] − 1 {\displaystyle {\mathit {HP}}=\left[\lambda L^{2}-4\lambda L+(1+6\lambda)-4\lambda L^{-1}+\lambda L^{-2}\right]^{-1}}

где обозначает оператор запаздывания , как видно из условия первого порядка для задачи минимизации. Л {\displaystyle L}

Недостатки фильтра Ходрика-Прескотта

Фильтр Ходрика-Прескотта будет оптимальным только в том случае, если: [6]

  • Данные существуют в тренде I(2).
    • Если происходят единовременные постоянные потрясения или раздвоение темпов роста, фильтр будет генерировать сдвиги в тренде, которых на самом деле не существует.
  • Шум в данных распределен приблизительно нормально.
  • Анализ является чисто историческим и статическим (закрытая область). Фильтр приводит к ошибочным прогнозам при динамическом использовании, поскольку алгоритм изменяет (во время итерации для минимизации) прошлое состояние (в отличие от скользящего среднего ) временного ряда для корректировки текущего состояния независимо от размера используемого. λ {\displaystyle \лямбда}

Стандартный двусторонний фильтр Ходрика-Прескотта не является причинным, поскольку он не является чисто ретроспективным. Следовательно, его не следует использовать при оценке моделей DSGE на основе рекурсивных представлений пространства состояний (например, методов, основанных на правдоподобии, которые используют фильтр Калмана). Причина в том, что фильтр Ходрика-Прескотта использует наблюдения в для построения текущей временной точки , в то время как рекурсивная настройка предполагает, что только текущие и прошлые состояния влияют на текущее наблюдение. Одним из способов обойти это является использование одностороннего фильтра Ходрика-Прескотта. [7] т + я , я > 0 {\displaystyle т+я,я>0} т {\displaystyle т}

Для двустороннего фильтра Ходрика-Прескотта имеются точные алгебраические формулы с точки зрения его отношения сигнал/шум . [8] λ {\displaystyle \лямбда}

Рабочий документ Джеймса Д. Гамильтона из Калифорнийского университета в Сан-Диего под названием «Почему вы никогда не должны использовать фильтр Ходрика-Прескотта» [9] представляет доказательства против использования фильтра HP. Гамильтон пишет, что:

  1. Фильтр HP создает ряды с ложными динамическими связями, которые не имеют под собой никакой основы в базовом процессе генерации данных.
  2. Односторонняя версия фильтра уменьшает, но не устраняет ложную предсказуемость и, более того, создает ряды, не обладающие свойствами, которые ищут большинство потенциальных пользователей фильтра HP.
  3. Статистическая формализация проблемы обычно приводит к значениям параметра сглаживания, которые существенно расходятся с общепринятой практикой, например, значение λ намного ниже 1600 для квартальных данных.
  4. Есть лучшая альтернатива. Регрессия переменной на дату t+h по четырем последним значениям на дату t предлагает надежный подход к детрендированию, который достигает всех целей, к которым стремятся пользователи фильтра HP, без каких-либо его недостатков.

Рабочий документ Роберта Дж. Ходрика под названием «Исследование методологий разложения тренда и цикла в моделируемых данных» [10] исследует, действительно ли предлагаемый альтернативный подход Джеймса Д. Гамильтона лучше, чем фильтр HP, при извлечении циклического компонента нескольких моделируемых временных рядов, откалиброванных для приближения реального ВВП США. Ходрик обнаруживает, что для временных рядов, в которых есть отдельные компоненты роста и циклические компоненты, фильтр HP подходит ближе к изоляции циклического компонента, чем альтернатива Гамильтона.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Ходрик, Роберт; Прескотт, Эдвард С. (1997). «Послевоенные деловые циклы США: эмпирическое исследование» (PDF) . Журнал денег, кредита и банковского дела . 29 (1): 1– 16. doi :10.2307/2953682. JSTOR  2953682. S2CID  154995815.
  2. ^ Уиттекер, ET (1923). «О новом методе градуировки». Труды Эдинбургской математической ассоциации . 41 : 63–75 . doi : 10.1017/S0013091500077853 . S2CID  120579706.- как указано в Philips 2010
  3. ^ Paige, Robert L.; Trindade, A. Alexandre (2010). «Фильтр Ходрика-Прескотта: особый случай сглаживания сплайнов со штрафом». Electronic Journal of Statistics . 4 : 856–874 . doi : 10.1214/10-EJS570. hdl : 2346/89336 . ISSN  1935-7524.
  4. ^ Ким, Хёну. «Фильтр Ходрика – Прескотта», 12 марта 2004 г.
  5. ^ Равн, Мортен; Улиг, Харальд (2002). «О настройке фильтра Ходрика–Прескотта для частоты наблюдений» (PDF) . Обзор экономики и статистики . 84 (2): 371. doi :10.1162/003465302317411604. S2CID  845683.
  6. ^ Френч, Марк В. (2001). «Оценка изменений в трендовом росте совокупной производительности факторов: фильтры Калмана и HP в сравнении с марковско-переключающей структурой». Рабочий документ FEDS № 2001-44 . SSRN  293105.
  7. ^ Сток; Уотсон (1999). «Прогнозирование инфляции». Журнал денежной экономики . 44 (2): 293– 335. doi :10.1016/s0304-3932(99)00027-6.
  8. ^ МакЭлрой (2008). «Точные формулы для фильтра Ходрика-Прескотта». Журнал эконометрики . 11 : 209–217 . doi :10.1111/j.1368-423x.2008.00230.x. S2CID  17526059.
  9. ^ Гамильтон, Джеймс Д. (2017). «Почему никогда не следует использовать фильтр Ходрика-Прескотта» (PDF) . Рабочий документ .
  10. ^ Ходрик, Роберт Дж. (2020). «Исследование методологий декомпозиции тренда и цикла в моделируемых данных» (PDF) . Рабочий документ .

Дальнейшее чтение

  • Эндерс, Уолтер (2010). «Тенденции и одномерные разложения». Applied Econometric Time Series (Третье изд.). Нью-Йорк: Wiley. С.  247–7 . ISBN 978-0470-50539-7.
  • Фаверо, Карло А. (2001). Прикладная макроэконометрика. Нью-Йорк: Oxford University Press. С.  54–5 . ISBN 0-19-829685-1.
  • Миллс, Теренс К. (2003). «Фильтрация экономических временных рядов». Моделирование тенденций и циклов в экономических временных рядах . Нью-Йорк: Palgrave Macmillan. С.  75–102 . ISBN 1-4039-0209-7.
  • бесплатная надстройка Hodrick Prescott Excel
  • Код Fortran Прескотта
  • Фильтр Ходрика–Прескотта в Matlab
  • Односторонние фильтры Ходрика–Прескотта в Matlab
  • Фильтр HP в R с пакетом 'mFilter'
  • Онлайн-приложение HP Filter
  • Односторонний фильтр Ходрика-Прескотта в Excel
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hodrick–Prescott_filter&oldid=1215151293"