преобразование Ельмслева

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Трансформация Ельмслева» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2022 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике преобразование Ельмслева — эффективный метод отображения всей гиперболической плоскости в окружность с конечным радиусом . Преобразование было изобретено датским математиком Иоганнесом Ельмслевом . Оно использует 23-ю теорему Николая Ивановича Лобачевского ^[1] из его работы «Геометрические исследования по теории параллелей».

Лобачевский замечает, используя комбинацию своих 16-й и 23-й теорем, что фундаментальной характеристикой гиперболической геометрии является то, что должен существовать определенный угол параллельности для любой заданной длины линии. ^[2] Скажем, для длины AE ее угол параллельности равен углу BAF. В этом случае линии AH и EJ будут гиперпараллельны и, следовательно, никогда не встретятся. Следовательно, любая линия, проведенная перпендикулярно основанию AE между A и E, обязательно должна пересечь линию AH на некотором конечном расстоянии. Иоганнес Ельмслев открыл из этого метод сжатия всей гиперболической плоскости в конечный круг.

Преобразование Ельмслева — это функция, обозначенная как , которая действует на все точки гиперболического (Лобачевского) пространства. При заданном угле , и начале координат , это отображение дает изображения, в которых сохраняются следующие свойства:${\displaystyle H(P)}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle 0<\alpha <{\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle О}$${\displaystyle P'_{n}}$

1. Изображением круга с центром в точке является круг с центром в точке .${\displaystyle О}$${\displaystyle О}$
2. Образом прямолинейного угла является прямолинейный угол.
3. Любой угол с вершиной отображается на себя, т.е. любой угол с вершиной сохраняется.${\displaystyle О}$${\displaystyle О}$
4. Образ прямого угла, одна сторона которого проходит через , представляет собой прямой угол, одна сторона которого проходит через .${\displaystyle О}$${\displaystyle О}$
5. Изображение любой прямой линии будет представлять собой конечный отрезок прямой линии.
6. Наконец, порядок точек сохраняется на протяжении всего преобразования, т.е. если B находится между A и C, то изображение B будет находиться между изображением A и изображением C.

Эта функция полезна при изучении гиперболического (Лобачевского) пространства, поскольку она производит характерные фигуры параллельных линий. Если задан набор из двух параллельных линий , таких, что , полученные изображения , будут образовывать треугольник с воображаемой вершиной в их направлении параллельности.${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle {\overline {CD}}}$${\displaystyle {\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}}}$${\displaystyle {\overline {A'B'}}}$${\displaystyle {\overline {C'D'}}}$${\displaystyle \треугольник A'B'IC'D'}$${\displaystyle Я}$

Дано , , , чтобы найти (изображение) . Сначала нарисуйте отрезок прямой , соединяющий точку с началом координат . Затем постройте вспомогательную линию так, чтобы . Точка необходима только для определения линии .${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle О}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\overline {OP}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle О}$${\displaystyle {\overline {OQ}}}$${\displaystyle \angle POQ=\альфа}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle {\overline {OQ}}}$

Теперь постройте перпендикулярную линию, проходящую через точку , перпендикулярную . Это образует прямой угол в точке :${\displaystyle {\overline {ПП''}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\overline {OQ}}}$${\displaystyle \angle OP''P}$${\displaystyle P''}$

Используя отрезок прямой в качестве радиуса, постройте окружность с центром так, чтобы окружность этой окружности пересекалась в точке . Таким образом, мы получаем точку на отрезке прямой , которая является преобразованием Ельмслева данной точки . :${\displaystyle {\overline {OP''}}}$${\displaystyle О}$${\displaystyle {\overline {OP}}}$${\displaystyle \color {красный}P'}$${\displaystyle \color {красный}P'}$${\displaystyle ОП}$${\displaystyle H(P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle H(P)=\color {красный}P'}$

Пусть будет параллельно , ​​где - угол параллельности. Выполняя преобразование для каждой точки на двух параллельных прямых, получаем окружность Ельмслева:${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$${\displaystyle {\overline {P_{3}P_{4}}}}$${\displaystyle \angle P_{3}P_{1}P_{2}}$

Окружность созданного круга не имеет соответствующего местоположения в плоскости, и поэтому продукт преобразования Ельмслева более уместно называть Диском Ельмслева . Аналогично, когда это преобразование распространяется во всех трех измерениях, его называют Шаром Ельмслева .

Если мы представим гиперболическое пространство с помощью модели Клейна и возьмем центр преобразования Ельмслева в качестве центральной точки модели Клейна, то преобразование Ельмслева сопоставит точки единичного круга с точками круга с центром в начале координат и радиусом меньше единицы. При наличии действительного числа k преобразование Ельмслева, если мы игнорируем вращения, по сути является тем, что мы получаем, сопоставляя вектор u, представляющий точку в модели Клейна, с ku, с 0<k<1. Следовательно, в терминах модели это равномерное масштабирование , которое отправляет линии в линии и так далее. Для существ, живущих в гиперболическом пространстве, это может быть подходящим способом создания карты.

• Теорема Ельмслева