Тетраэдр Хилла

В геометрии тетраэдры Хилла — это семейство тетраэдров , заполняющих пространство . Они были открыты в 1896 году М. Дж. М. Хиллом , профессором математики в Университетском колледже Лондона , который показал, что они являются равносоставленными кубу .

Для каждого пусть будет три единичных вектора с углом между каждыми двумя из них. Определим тетраэдр Хилла следующим образом:${\displaystyle \альфа \in (0,2\пи /3)}$${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \альфа}$ ${\displaystyle Q(\альфа)}$

${\displaystyle Q(\alpha )\,=\,\{c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}\mid 0\leq c_{1}\leq c_{2}\leq c_{3}\leq 1\}.}$

Особым случаем является тетраэдр, все стороны которого представляют собой прямоугольные треугольники, два из которых имеют стороны , а два — стороны . Людвиг Шлефли изучал его как частный случай ортосхемы , а Г. С. М. Коксетер назвал его характерным тетраэдром кубического заполнения пространства.${\displaystyle Q=Q(\пи /2)}$${\displaystyle (1,1,{\sqrt {2}})}$${\displaystyle (1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$${\displaystyle Q}$

• Куб можно покрыть шестью копиями . ^[1]${\displaystyle Q}$
• Каждый из них можно разрезать на три многогранника, которые можно собрать в призму .${\displaystyle Q(\альфа)}$

В 1951 году Хьюго Хадвигер нашел следующее n -мерное обобщение тетраэдров Хилла:

${\displaystyle Q(w)\,=\,\{c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n}\mid 0\leq c_{1}\leq \cdots \leq c_{n}\leq 1\},}$

где векторы удовлетворяют для всех , и где . Хадвигер показал, что все такие симплексы являются конгруэнтными гиперкубу .${\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}}$${\displaystyle (v_{i},v_{j})=w}$${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$${\displaystyle -1/(n-1)<w<1}$

• MJM Hill, Определение объемов некоторых видов тетраэдров без применения метода пределов, Proc. London Math. Soc. , 27 (1895–1896), 39–53.
• Х. Хадвигер , Hillsche Hypertetraeder, Gazeta Matemática (Лиссабон) , 12 (№ 50, 1951), 47–48.
• HSM Coxeter , Узоры Frieze, Acta Arithmetica 18 (1971), 297–310.
• Э. Хертель, Zwei Kennzeichnungen der Hillschen Tetraeder, J. Geom. 71 (2001), вып. 1–2, 68–77.
• Грег Н. Фредериксон, Вскрытия: плоскость и фантазия , Cambridge University Press, 2003.
• NJA Слоан , В.А. Вайшампаян, Обобщения тетраэдрического рассечения Шоби , arXiv :0710.3857.

• Разбиение тетраэдра Хилла на три части в треугольную призму
• Тетраэдры, заполняющие пространство