Парадокс Гильберта-Бернейса

Парадокс Гильберта–Бернейса — это особый парадокс, принадлежащий к семейству парадоксов референции . Он назван в честь Дэвида Гильберта и Пола Бернайса .

Парадокс появляется в работе Гильберта и Бернайса « Основы математики» и используется ими для того, чтобы показать, что достаточно сильная непротиворечивая теория не может содержать свой собственный функтор ссылок. ^[1] Хотя он оставался в значительной степени незамеченным в течение 20-го века, недавно он был заново открыт и оценен по достоинству за особые трудности, которые он представляет. ^[2]

Точно так же, как семантическое свойство истины , по-видимому, управляется наивной схемой:

(T) Предложение „ P „ истинно тогда и только тогда, когда P

(где одинарные кавычки относятся к языковому выражению внутри кавычек), семантическое свойство ссылки, по-видимому, регулируется наивной схемой:

(R) Если существует a , то референт имени ′ a ′ идентичен a

Предположим, однако, что для каждого выражения e в языке, язык также содержит имя <e> для этого выражения, и рассмотрим имя h для (натуральных) чисел, удовлетворяющих:

(H) <h> идентично ′(референт <h> )+1′

Предположим, что для некоторого числа n :

(1) Референт <h> идентичен n

Тогда, конечно, референт <h> существует, и также существует (референт <h> )+1. Из (R) следует, что:

(2) Референт ′(референт <h> )+1′ идентичен (референту <h> )+1

Следовательно, согласно (H) и принципу неразличимости тождественных , имеет место следующее:

(3) Референт h идентичен (референту h )+1

Но, применяя еще два применения неразличимости тождеств, (1) и (3) дают:

(4) n идентично n +1

Увы, (4) абсурдно, поскольку ни одно число не совпадает со своим последующим числом.

Поскольку, учитывая диагональную лемму , каждая достаточно сильная теория должна будет принять что-то вроде (H), ^{[ необходимо разъяснение ]} абсурда можно избежать только либо отвергнув принцип наивной ссылки (R), либо отвергнув классическую логику (которая подтверждает рассуждения из (R) и (H) до абсурда). При первом подходе, как правило, все, что говорится о парадоксе Лжеца, плавно переносится на парадокс Гильберта–Бернейса. ^[3] Парадокс вместо этого представляет особые трудности для многих решений, следующих второму подходу: например, решения парадокса Лжеца, которые отвергают закон исключенного третьего (который не используется парадоксом Гильберта–Бернейса), отрицают, что существует такая вещь, как референт h ; ^[4] решения парадокса Лжеца , которые отвергают закон непротиворечивости (который также не используется парадоксом Гильберта–Бернейса), утверждают, что h относится к более чем одному объекту. ^[2]