Неоднородное случайное блуждание в одном измерении

В динамике , теории вероятности , физике , химии и смежных областях гетерогенное случайное блуждание в одном измерении — это случайное блуждание в одномерном интервале с правилами прыжков, которые зависят от местоположения случайного блуждающего в интервале.

Например: скажем, что время дискретно, как и интервал. А именно, случайный блуждающий прыгает каждый временной шаг либо влево, либо вправо. Возможный гетерогенный случайный блуждание рисует на каждом временном шаге случайное число, которое определяет локальные вероятности прыжка, а затем случайное число, которое определяет фактическое направление прыжка. В частности, скажем, что интервал имеет 9 сайтов (обозначенных от 1 до 9), и сайты (также называемые состояниями) связаны друг с другом линейно (где сайты ребер соединены со своими соседними сайтами и вместе). На каждом временном шаге вероятности прыжка (от фактического сайта) определяются при подбрасывании монеты; для орла мы устанавливаем: вероятность прыжка влево = 1/3, где для решки мы устанавливаем: вероятность прыжка влево = 0,55. Затем случайное число берется из равномерного распределения : когда случайное число меньше вероятности прыжка влево, прыжок осуществляется влево, в противном случае прыжок осуществляется вправо. Обычно в такой системе нас интересует вероятность остаться в каждом из различных мест после t скачков и предел этой вероятности, когда t очень велико, . $т\rightarrow \infty$

В общем случае время в таких процессах может также изменяться непрерывным образом, а интервал также может быть либо дискретным, либо непрерывным. Более того, интервал может быть либо конечным, либо не иметь границ. В дискретной системе связи находятся между соседними состояниями. Основная динамика является либо марковской , либо полумарковской , либо даже немарковской в зависимости от модели. В дискретных системах неоднородные случайные блуждания в 1d имеют вероятности скачков, зависящие от местоположения в системе, и/или различные функции плотности вероятности (PDF) времени скачков (JT), которые зависят от местоположения в системе. ^{[ необходима цитата ]} Общие решения для неоднородных случайных блужданий в 1d подчиняются уравнениям ( 1 )-( 5 ), представленным ниже.

Введение

Случайные блуждания в приложениях

Случайные блуждания ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11] могут использоваться для описания процессов в биологии, ^[12]^{[ неудачная проверка ]} химии, ^[13] и физике, ^[14]^[15] включая химическую кинетику ^[13] и динамику полимеров. ^[14]^[15] В отдельных молекулах случайные блуждания возникают при изучении отдельных молекул, ^[16]^[17]^[18]^[19]^[20]^[21]^[22]^[23]^[24]^[25] отдельных каналов, ^[26]^[27] отдельных биомолекул, ^[28] отдельных ферментов, ^[18]^[20^{] [21]}^{[22 ] [}^29]^[30]^[31]^[32]^[33] и квантовых точек . ^[34]^[35]^[36] Важно, что PDF и специальные корреляционные функции ^{[ требуется разъяснение ]} можно легко вычислить из измерений отдельных молекул, но не из измерений ансамблей. Эта уникальная информация может быть использована для различения различных моделей случайных блужданий, которые разделяют некоторые свойства ^{[ какие? ]} , ^[18]^[19]^[20]^[21]^[22]^[23]^[24]^[25]^[26] и это требует детального теоретического анализа моделей случайных блужданий. В этом контексте использование информационного содержания в данных отдельных молекул является предметом текущих исследований. ^{[ слова-ласка ]}

Формулировки случайных блужданий

Фактическое случайное блуждание подчиняется стохастическому уравнению движения , но его функция плотности вероятности (PDF) подчиняется детерминированному уравнению. PDF случайных блужданий можно сформулировать в терминах (дискретного в пространстве) главного уравнения ^[1]^[12]^[13] и обобщенного главного уравнения ^[3] или (непрерывного в пространстве и времени) уравнения Фоккера-Планка ^[37] и его обобщений. ^[10] Непрерывные во времени случайные блуждания, ^[1] теория восстановления , ^[38] и представление пути ^[3]^[6]^[8]^[9] также являются полезными формулировками случайных блужданий. Сеть отношений между различными описаниями обеспечивает мощный инструмент в анализе случайных блужданий. Произвольно неоднородные среды затрудняют анализ, особенно в больших размерностях. ^{[ weasel words ]}

Результаты случайных блужданий в одном измерении

Простые системы

Известные важные результаты в простых системах включают:

В симметричном марковском случайном блуждании функция Грина (также называемая PDF блуждающего) для занимаемого состояния i является гауссовой в позиции и имеет дисперсию, которая масштабируется как время. Это верно для системы с дискретным временем и пространством, но также и для системы с непрерывным временем и пространством. Эти результаты относятся к системам без границ.
Когда в системе имеется простое смещение (т.е. к системе приложена постоянная сила в определенном направлении), среднее расстояние случайного блуждающего объекта от его начального положения линейно зависит от времени.
При попытке достичь расстояния L от исходного положения в конечном интервале длины L время достижения этого расстояния экспоненциально зависит от длины L : . Здесь диффузия происходит против линейного потенциала. ^[^{необходима цитата}^] $\тау$ $\tau =e^{L}$

Гетерогенные системы

Решение для функции Грина для полумарковского случайного блуждания в произвольно неоднородной среде в 1D было недавно дано с использованием представления пути. ^[6]^[8]^[9] (Функция является функцией PDF для занятия состояния i в момент времени t, учитывая, что процесс начался в состоянии j точно в момент времени 0.) Полумарковское случайное блуждание в 1D определяется следующим образом: случайное блуждание, динамика которого описывается (возможно) зависимыми от состояния и направления функциями JT-PDF, для переходов между состояниями i и i ± 1, которое генерирует стохастические траектории некоррелированных времен ожидания, которые не являются экспоненциальными. подчиняется условиям нормализации (см. рис. 1) $G_{ij}(t;L)$ $G_{ij}(t;L)$ $\psi _{ij}(t)$ $\psi _{ij}(t)$

\sum _{j}\int _{0}^{\infty }\psi _{ij}(t)=1.

Динамика может также включать зависящие от состояния и направления необратимые JT-PDF захвата, с I=i+L . Окружающая среда является неоднородной, когда зависит от i . Вышеуказанный процесс также является непрерывным случайным блужданием во времени и имеет эквивалентное обобщенное представление основного уравнения для функции Грина. . ^[3]^[6]^[8]^[9] $\psi _{iI}(t)$ $\psi _{ij}(t)$ $G_{ij}(t)$

Явные выражения для неоднородных случайных блужданий в 1D

В полностью неоднородном полумарковском случайном блуждании в дискретной системе L (> 1) состояний функция Грина была найдена в пространстве Лапласа (преобразование Лапласа функции определяется с помощью, ). Здесь система определяется через PDF времени прыжка (JT): соединяя состояние i с состоянием j (прыжки из состояния i ). Решение основано на представлении пути функции Грина, вычисляемом при включении всех функций плотности вероятности пути всех длин: ${\bar {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$ $\psi _{ij}(t)$

{\bar {G}}_{ij}(s)={\bar {\Gamma }}_{ij}(s){\frac {{\bar {\Phi }}(s,{\tilde {L}})}{{\bar {\Phi }}(s,L)}}{\bar {\Psi }}_{i}(s).

1

Здесь,

{\bar {\Psi }}_{i}(s)=\sum _{j}{\bar {\Psi }}_{ij}(s)

и

{\bar {\Psi }}_{ij}(s)={\frac {1- {\bar {\psi }}_{ij}(s)}{s}}.

Также в уравнении ( 1 ),

{\bar {\Gamma }}_{ij}(s)=\prod _{c=0}^{i\mp 1}{\bar {\psi }}_{c\pm 1c}(s),

2

и

{\bar {\Phi }}(s,L)=1+\sum _{c=1}^{[L/2]}(-1)^{c}{\bar {h}}(s,c;L)

3

с

{\bar {h}}(s,i;L)=\prod _{c=1}^{i}\sum _{k_{c}=2+k_{c-1}}^{L-1-2(ic)}{\bar {f}}_{k_{c}}(s)

4

и

{\bar {f}}_{k_{j}}(s)={\bar {\psi }}_{k_{j}k_{j}+1}(s){\bar {\ psi }}_{k_{j}+1k_{j}}(s).

5

Для L = 1, . В этой статье символ [ L /2], как он появляется в верхней границе суммы в ур. ( 5 ) является операцией округления к нулю. Наконец, множитель в ур. ( 1 ) имеет ту же форму, что и в ур. ( 3 )-( 5 ), но он вычисляется на решетке . Решетка строится из исходной решетки путем изъятия из нее состояний i и j и состояний между ними, а затем соединения полученных двух фрагментов. Для случаев, в которых фрагмент является одним состоянием, этот фрагмент исключается; а именно, решетка является более длинным фрагментом. Когда каждый фрагмент является одним состоянием, . ${\bar {\Phi }}(s;L)=1$ $\Phi (s, {\tilde {L}})$ ${\bar {\Phi }}(s;L)$ ${\тильда {L}}$ ${\тильда {L}}$ ${\тильда {L}}$ ${\bar {\Phi }}(s;{\tilde {L}})=1$

Уравнения ( 1 )-( 5 ) справедливы для любого одномерного полумарковского случайного блуждания в цепи L-состояний и образуют наиболее общее решение в явном виде для случайных блужданий в одномерном пространстве.

Представление пути неоднородных случайных блужданий

Очевидно, что в уравнениях ( 1 )-( 5 ) решается соответствующая задача случайного блуждания в непрерывном времени и эквивалентное обобщенное основное уравнение. Уравнения ( 1 )-( 5 ) позволяют анализировать полумарковские случайные блуждания в одномерных цепях с самых разных точек зрения. Инверсия во временную область дает функцию Грина, но также моменты и корреляционные функции могут быть вычислены из уравнений ( 1 )-( 5 ), а затем инвертированы во временную область (для соответствующих величин). Закрытая форма также проявляет свою полезность, когда численное обращение обобщенного основного уравнения нестабильно. Более того, использование в простых аналитических манипуляциях дает ^[6]^[8]^[9] (i) первое время прохождения PDF, (ii)–(iii) функции Грина для случайного блуждания со специальным WT-PDF для первого события и для случайного блуждания в круговой L-состоянии одномерной цепи, и (iv) совместные PDF в пространстве и времени со многими аргументами. ${\bar {G}}_{ij}(s;L)$ ${\bar {G}}_{ij}(s;L)$ ${\bar {G}}_{ij}(s;L)$

Тем не менее, формализм, используемый в этой статье, представляет собой представление пути функции Грина , и это дает дополнительную информацию о процессе. Представление пути следующее: $G_{ij}(t)$

G_{ij}(t;L)=\int _{0}^{\infty }\Psi _{i}(t-\tau )W_{ij}(\tau ;L)\,d\tau ,

6

Выражение для в уравнении ( 6 ) выглядит следующим образом: $W_{ij}(t;L)$

W_{ij}(\tau ;L)=\sum _{n=0}^{\infty }w_{ij}(\tau ,2n+\gamma _{ij};L).

7

$W_{ij}(t;L)$ — это PDF достижения состояния i точно в момент времени t при старте в состоянии j точно в момент времени 0. Это PDF пути во времени, которая построена из всех путей с переходами, которые соединяют состояния j с i . Два разных типа путей вносят вклад в : ^[8]^[9] пути, состоящие из одних и тех же состояний, появляющихся в разных порядках, и разные пути с одинаковой длиной переходов. PDF пути для цепей, инвариантных к трансляции, имеют один пик. PDF пути для цепей, инвариантных к трансляции, в основном вносят вклад в функцию Грина вблизи ее пика, но считается, что это поведение характеризует и гетерогенные цепи. $2n+\gamma _{ij}$ $w_{ij}(\tau ,2n+\gamma _{ij};L)$ $2n+\gamma _{ij}$

Отметим также, что справедливо следующее соотношение: . Используя это соотношение, в дальнейшем мы сосредоточимся на решении . ${\bar {W}}_{ij}(s;L)={\bar {W}}_{1L}(s;L)/{\bar {W}}_{1{\tilde {L}}}(s;{\tilde {L}})$ ${\bar {w}}_{1L}(s;L)$

Путь PDF-файлов

Дополнительная информация о случайном блуждании, которая поставляется с функцией Грина, содержится в путевых PDF. Это очевидно при построении приближений для функций Грина, в которых путевые PDF являются строительными блоками в анализе. ^[8]^[9] Кроме того, аналитические свойства функции Грина проясняются только в анализе путевых PDF. Здесь представлено рекурсивное соотношение для длины n путевых PDF для любого фиксированного значения L. Рекурсивное соотношение является линейным в путевых PDF с s в уравнении ( 5 ), выступающим в качестве n независимых коэффициентов, и имеет порядок [ L / 2]: $w_{ij}(\tau ,2n+\gamma _{ij};L)$ ${\bar {h}}(s,i;L)$

{\bar {w}}_{1L}(s,2n+\gamma _{1L};L)=\delta _{n0}{\bar {\Gamma }}_{1L}(s)+\sum _{c=1}^{[L/2]}(-1)^{c+1}{\bar {w}}_{1L}(s,2(n-c)+\gamma _{1L};L){\bar {h}}(s,c;L).

8

Рекурсивное соотношение используется для объяснения универсальной формулы для коэффициентов в уравнении ( 1 ). Решение рекурсивного соотношения получается путем применения az-преобразования:

{\hat {\bar {w}}}_{1L}(s,2z+\gamma _{1L};L)=\sum _{n=0}^{\infty }{\bar {w}}_{1L}(s,2n+\gamma _{1L};L)z^{n}={\bar {\Gamma }}_{1L}(s){\big [}1-\sum _{c=1}^{[L/2]}(-1)^{c+1}{\bar {h}}(s,c;L)z^{i}{\big ]}^{-1}.

9

Установка в уравнении ( 9 ) дает . Разложение Тейлора уравнения ( 9 ) дает . Результат следующий: $z=1$ ${\bar {W}}_{1L}(s;L)$ ${\bar {w}}_{1L}(s,2n+\gamma _{1L};L)$

{\bar {w}}_{1L}(s,2n+\gamma _{1L};L)={\bar {\Gamma }}_{1L}(s)\sum _{k_{0}=a_{0,n}}^{n}{\bar {h}}(1,s;L)^{k_{0}}c_{k_{0}}(s;L).

10

В уравнении ( 10 ) единица для , а в противном случае, ${\bar {c}}_{k_{0}}(s;L)$ $L=2,3$

{\bar {c}}_{k_{0}}(s;L)=\prod _{c=0}^{[L/2]-1}\sum _{k_{c}=a_{c,n}}^{n-\sum _{j=0}^{c-1}k_{j}}{\bar {g}}_{k_{c}}(s;L),

11

где

{\bar {g}}_{k_{i}}(s;L)={\binom {k_{i-1}}{k_{i}}}\left(-{\frac {{\bar {h}}(s,i+1;L)}{{\bar {h}}(s,i;L)}}\right)^{k_{i}}.

12

Начальный номер следующий: $a_{i,n}s$

a_{i,n}=\left[{\frac {n-\sum _{j=0}^{i-1}k_{j}+[L/2]-1-i}{[L/2]-i}}\right];i>0,

13

и,

a_{i,0}=\left[{\frac {n+[L/2]-1}{[L/2]}}\right].

14

Ссылки

^ abc Вайс, Джордж Х. (1994), Аспекты и приложения случайного блуждания , случайные материалы и процессы, North-Holland Publishing Co., Амстердам, ISBN 0-444-81606-2, МР 1280031.
^ Ван ден Брок, К.; Боутен, М. (1986). «Времена распада в одномерных цепях». Журнал статистической физики . 45 ( 5–6 ). Springer Science and Business Media LLC: 1031–1047 . Bibcode : 1986JSP....45.1031V. doi : 10.1007/bf01020587. ISSN 0022-4715. S2CID 122944293.
^ abcd Kenkre, VM; Montroll, EW; Shlesinger, MF (1973). "Обобщенные основные уравнения для случайных блужданий с непрерывным временем". Журнал статистической физики . 9 (1). Springer Science and Business Media LLC: 45– 50. Bibcode :1973JSP.....9...45K. doi :10.1007/bf01016796. ISSN 0022-4715. S2CID 119993553.
^ Монтролл, Эллиотт В.; Вайс, Джордж Х. (1965), «Случайные блуждания на решетках. II», Журнал математической физики , 6 (2): 167– 181, Bibcode : 1965JMP.....6..167M, doi : 10.1063/1.1704269, MR 0172344 .
^ Scher, H.; Lax, M. (1973-05-15). «Стохастический транспорт в неупорядоченном твердом теле. I. Теория». Physical Review B. 7 ( 10). Американское физическое общество (APS): 4491– 4502. Bibcode : 1973PhRvB...7.4491S. doi : 10.1103/physrevb.7.4491. ISSN 0556-2805.
^ abcde Фломенбом, Офир; Клафтер, Джозеф (2005-08-26). "Замкнутые решения для непрерывных во времени случайных блужданий по конечным цепям". Physical Review Letters . 95 (9): 098105. arXiv : cond-mat/0702561 . Bibcode :2005PhRvL..95i8105F. doi :10.1103/physrevlett.95.098105. ISSN 0031-9007. PMID 16197257. S2CID 16316240.
^ Фломенбом, О.; Клафтер, Дж.; Силбей, Р.Дж. (2006-10-23). "Комментарий к "Формулировке суммирования путей основного уравнения"". Physical Review Letters . 97 (17): 178901. arXiv : cond-mat/0702503 . Bibcode : 2006PhRvL..97q8901F. doi : 10.1103/physrevlett.97.178901. ISSN 0031-9007. PMID 17155514. S2CID 16461793.
^ abcdefg Фломенбом, Офир; Силбей, Роберт Дж. (2007-07-21). "Свойства обобщенного основного уравнения: функции Грина и функции плотности вероятности в представлении траектории". Журнал химической физики . 127 (3). Издательство AIP: 034103. Bibcode : 2007JChPh.127c4103F. doi : 10.1063/1.2743969. ISSN 0021-9606. PMID 17655427.
^ abcdefg Flomenbom, O.; Silbey, RJ (2007-10-01). "Функции плотности вероятности пути для полумарковских случайных блужданий" (PDF) . Physical Review E . 76 (4): 041101. arXiv : 0706.3211 . Bibcode :2007PhRvE..76d1101F. doi :10.1103/physreve.76.041101. ISSN 1539-3755. PMID 17994930. S2CID 14742889. Архивировано из оригинала (PDF) 2012-03-23 . Получено 2011-05-29 .
^ ab Метцлер, Ральф; Клафтер, Джозеф (2000). «Руководство случайного блуждания по аномальной диффузии: подход дробной динамики». Physics Reports . 339 (1). Elsevier BV: 1– 77. Bibcode : 2000PhR...339....1M. doi : 10.1016/s0370-1573(00)00070-3. ISSN 0370-1573.
^ Qian, H; Wang, H (2006). «Непрерывные случайные блуждания во времени в закрытых и открытых системах с одной молекулой с микроскопической обратимостью». Europhysics Letters (EPL) . 76 (1). IOP Publishing: 15– 21. Bibcode : 2006EL.....76...15Q. doi : 10.1209/epl/i2006-10239-9. ISSN 0295-5075. S2CID 250811921.
^ ab Goel NW и Richter-Dyn N. , Стохастические модели в биологии (Academic Press, Нью-Йорк) 1974; ISBN 978-0-12-287460-4 .
^ abc Van Kampen NG, Стохастические процессы в физике и химии , переработанное и дополненное издание (Северная Голландия, Амстердам) 1992; ISBN 978-0-444-52965-7 .
^ ab Doi M. и Edwards SF, Теория динамики полимеров (Clarendon Press, Oxford) 1986; ISBN 978-0-19-852033-7 .
^ ab De Gennes PG, Концепции масштабирования в физике полимеров (Издательство Корнеллского университета, Итака и Лондон) 1979; ISBN 978-0-8014-1203-5 .
^ Moerner, WE (1999-03-12). «Освещение отдельных молекул в конденсированных веществах». Science . 283 (5408). Американская ассоциация содействия развитию науки (AAAS): 1670– 1676. Bibcode :1999Sci...283.1670M. doi :10.1126/science.283.5408.1670. ISSN 0036-8075. PMID 10073924.
^ Weiss, S. (1999-03-12). "Флуоресцентная спектроскопия отдельных биомолекул". Science . 283 (5408). Американская ассоциация содействия развитию науки (AAAS): 1676– 1683. Bibcode :1999Sci...283.1676W. doi :10.1126/science.283.5408.1676. ISSN 0036-8075. PMID 10073925.
^ abc Flomenbom, O.; Silbey, RJ (2006-07-10). «Использование информационного содержания в двухуровневых траекториях». Труды Национальной академии наук . 103 (29): 10907– 10910. arXiv : q-bio/0703013 . Bibcode : 2006PNAS..10310907F. doi : 10.1073/pnas.0604546103 . ISSN 0027-8424. PMC 1544147. PMID 16832051 .
^ ab Bruno, WJ; Yang, J.; Pearson, JE (2005-04-20). "Использование независимых переходов из открытого в закрытый для упрощения агрегированных марковских моделей кинетики управления ионными каналами". Труды Национальной академии наук США . 102 (18). Труды Национальной академии наук: 6326– 6331. Bibcode : 2005PNAS..102.6326B. doi : 10.1073/pnas.0409110102 . ISSN 0027-8424. PMC 1088360. PMID 15843461 .
^ abc Flomenbom, Ophir; Klafter, Joseph; Szabo, Attila (2005). «Чему можно научиться из двух состояний одиночных молекулярных траекторий?». Biophysical Journal . 88 (6): 3780– 3783. arXiv : q-bio/0502006 . Bibcode : 2005BpJ....88.3780F. doi : 10.1529/biophysj.104.055905 . ISSN 0006-3495. PMC 1305612. PMID 15764653 .
^ abc Flomenbom, O.; Silbey, RJ (2008-12-15). "Инструментарий для анализа конечных двухуровневых траекторий". Physical Review E. 78 ( 6): 066105. arXiv : 0802.1520 . Bibcode : 2008PhRvE..78f6105F. doi : 10.1103/physreve.78.066105. hdl : 1721.1/51348 . ISSN 1539-3755. PMID 19256903. S2CID 16196911.
^ abc Flomenbom O, Adv. Chem. Phys. 2011; 146, 367; Полная статья
^ ab Cao, Jianshu (2000). "Событийно-усредненные измерения кинетики одиночных молекул". Chemical Physics Letters . 327 ( 1– 2). Elsevier BV: 38– 44. Bibcode : 2000CPL...327...38C. doi : 10.1016/s0009-2614(00)00809-5. ISSN 0009-2614.
^ ab Yang, Shilong; Cao, Jianshu (2002-12-22). «Прямые измерения эффектов памяти в кинетике одиночных молекул». Журнал химической физики . 117 (24). AIP Publishing: 10996– 11009. Bibcode : 2002JChPh.11710996Y. doi : 10.1063/1.1521155. ISSN 0021-9606.
^ ab Witkoskie, James B.; Cao, Jianshu (2004). «Кинетика одиночных молекул. I. Теоретический анализ индикаторов». Журнал химической физики . 121 (13). AIP Publishing: 6361– 6372. Bibcode : 2004JChPh.121.6361W. doi : 10.1063/1.1785783. ISSN 0021-9606. PMID 15446933.
^ ab Colquhoun, D.; Hawkes, AG (1982-12-24). "О стохастических свойствах всплесков открытия одиночных ионных каналов и кластеров всплесков". Philosophical Transactions of the Royal Society B: Biological Sciences . 300 (1098). The Royal Society: 1– 59. Bibcode :1982RSPTB.300....1C. doi : 10.1098/rstb.1982.0156 . ISSN 0962-8436. PMID 6131450.
^ Меллер, Амит (2003-04-22). "Динамика транспорта полинуклеотидов через поры нанометрового масштаба". Journal of Physics: Condensed Matter . 15 (17). IOP Publishing: R581 – R607 . doi :10.1088/0953-8984/15/17/202. ISSN 0953-8984. S2CID 250907343.
^ Чжуан, Сяовэй (2005). «Наука об одиночных молекулах РНК». Ежегодный обзор биофизики и биомолекулярной структуры . 34 (1). Ежегодные обзоры: 399– 414. doi :10.1146/annurev.biophys.34.040204.144641. ISSN 1056-8700. PMID 15869396.
^ Lu, HP; Xun, L.; Xie, XS (1998-12-04). "Single-Molecule Enzymatic Dynamics". Science . 282 (5395). Американская ассоциация содействия развитию науки (AAAS): 1877– 1882. Bibcode :1998Sci...282.1877P. doi :10.1126/science.282.5395.1877. PMID 9836635.
^ Эдман, Ларс; Фёльдес-Папп, Зено; Веннмальм, Стефан; Риглер, Рудольф (1999). «Флюктуирующий фермент: подход с использованием одной молекулы». Химическая физика . 247 (1). Elsevier BV: 11– 22. Bibcode : 1999CP....247...11E. doi : 10.1016/s0301-0104(99)00098-1. ISSN 0301-0104.
^ Flomenbom, O.; Velonia, K.; Loos, D.; Masuo, S.; Cotlet, M.; et al. (2005-02-04). «Растянутый экспоненциальный спад и корреляции в каталитической активности флуктуирующих одиночных молекул липазы». Труды Национальной академии наук . 102 (7): 2368– 2372. Bibcode : 2005PNAS..102.2368F. doi : 10.1073/pnas.0409039102 . ISSN 0027-8424. PMC 548972. PMID 15695587 .
^ Фломенбом, Офир; Хофкенс, Йохан; Велония, Келли; де Шрайвер, Франс К.; Роуэн, Алан Э.; и др. (2006). «Правильная проверка результатов на основе данных об отдельных молекулах: случай растянутого экспоненциального распада в каталитической активности отдельных молекул липазы B». Chemical Physics Letters . 432 ( 1– 3): 371– 374. arXiv : q-bio/0702045 . Bibcode : 2006CPL...432..371F. doi : 10.1016/j.cplett.2006.10.060. ISSN 0009-2614. S2CID 18680839.
^ Велония, Келли; Фломенбом, Офир; Лоос, Дэйви; Масуо, Садахиро; Котлет, Мирча; и др. (2005-01-14). «Кинетика одноферментного гидролиза, катализируемого CALB». Angewandte Chemie International Edition . 44 (4). Wiley: 560– 564. doi :10.1002/anie.200460625. ISSN 1433-7851. PMID 15619259.
^ Chung, Inhee; Bawendi, Moungi G. (2004-10-11). "Связь между прерывистостью одиночной квантовой точки и затуханием интенсивности флуоресценции от наборов точек". Physical Review B. 70 ( 16). Американское физическое общество (APS): 165304. Bibcode : 2004PhRvB..70p5304C. doi : 10.1103/physrevb.70.165304. ISSN 1098-0121.
^ Баркай, Эли; Юнг, ЮнДжун; Силбей, Роберт (2004). «ТЕОРИЯ СПЕКТРОСКОПИИ ОДИНОЧНОЙ МОЛЕКУЛЫ: за пределами среднего по ансамблю». Annual Review of Physical Chemistry . 55 (1). Annual Reviews: 457– 507. Bibcode : 2004ARPC...55..457B. doi : 10.1146/annurev.physchem.55.111803.143246. ISSN 0066-426X. PMID 15117260.
^ Браун, Фрэнк Л. Х. (2006). «Методы генерирующих функций в спектроскопии одиночных молекул». Accounts of Chemical Research . 39 (6). Американское химическое общество (ACS): 363–373 . doi :10.1021/ar050028l. ISSN 0001-4842. PMID 16784214.
^ Рискен Х., Уравнение Фоккера-Планка (Springer, Берлин) 1984; ISBN 978-3-642-08409-6 .
^ Кокс Д.Р., Теория обновления (Метуэн, Лондон) 1962.

Другая библиография

Цванциг, Р. (2001). Неравновесная статистическая механика . Нью-Йорк: OXFORD, University Press. ISBN 0-19-514018-4.
Шусс, Зеев (2010). Теория и приложения стохастических процессов: аналитический подход (прикладные математические науки) . Нью-Йорк Дордрехт Гейлдерберг Лондон: Springer. ISBN 978-1-4419-1605-1.
Реднер, С. (2001). Руководство по процессу первого прохода . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 0-521-65248-0.

[WGH-1] Вайс, Джордж Х. (1994), Аспекты и приложения случайного блуждания , случайные материалы и процессы, North-Holland Publishing Co., Амстердам, ISBN 0-444-81606-2, МР 1280031.

[[8]-2] Ван ден Брок, К.; Боутен, М. (1986). «Времена распада в одномерных цепях». Журнал статистической физики . 45 ( 5–6 ). Springer Science and Business Media LLC: 1031–1047 . Bibcode : 1986JSP....45.1031V. doi : 10.1007/bf01020587. ISSN 0022-4715. S2CID 122944293.

[[9]-3] Kenkre, VM; Montroll, EW; Shlesinger, MF (1973). "Обобщенные основные уравнения для случайных блужданий с непрерывным временем". Журнал статистической физики . 9 (1). Springer Science and Business Media LLC: 45– 50. Bibcode :1973JSP.....9...45K. doi :10.1007/bf01016796. ISSN 0022-4715. S2CID 119993553.

[[11]-4] Монтролл, Эллиотт В.; Вайс, Джордж Х. (1965), «Случайные блуждания на решетках. II», Журнал математической физики , 6 (2): 167– 181, Bibcode : 1965JMP.....6..167M, doi : 10.1063/1.1704269, MR 0172344 .

[[12]-5] Scher, H.; Lax, M. (1973-05-15). «Стохастический транспорт в неупорядоченном твердом теле. I. Теория». Physical Review B. 7 ( 10). Американское физическое общество (APS): 4491– 4502. Bibcode : 1973PhRvB...7.4491S. doi : 10.1103/physrevb.7.4491. ISSN 0556-2805.

[[13]-6] Фломенбом, Офир; Клафтер, Джозеф (2005-08-26). "Замкнутые решения для непрерывных во времени случайных блужданий по конечным цепям". Physical Review Letters . 95 (9): 098105. arXiv : cond-mat/0702561 . Bibcode :2005PhRvL..95i8105F. doi :10.1103/physrevlett.95.098105. ISSN 0031-9007. PMID 16197257. S2CID 16316240.

[[13c]-7] Фломенбом, О.; Клафтер, Дж.; Силбей, Р.Дж. (2006-10-23). "Комментарий к "Формулировке суммирования путей основного уравнения"". Physical Review Letters . 97 (17): 178901. arXiv : cond-mat/0702503 . Bibcode : 2006PhRvL..97q8901F. doi : 10.1103/physrevlett.97.178901. ISSN 0031-9007. PMID 17155514. S2CID 16461793.

[[14]-8] Фломенбом, Офир; Силбей, Роберт Дж. (2007-07-21). "Свойства обобщенного основного уравнения: функции Грина и функции плотности вероятности в представлении траектории". Журнал химической физики . 127 (3). Издательство AIP: 034103. Bibcode : 2007JChPh.127c4103F. doi : 10.1063/1.2743969. ISSN 0021-9606. PMID 17655427.

[[14c]-9] Flomenbom, O.; Silbey, RJ (2007-10-01). "Функции плотности вероятности пути для полумарковских случайных блужданий" (PDF) . Physical Review E . 76 (4): 041101. arXiv : 0706.3211 . Bibcode :2007PhRvE..76d1101F. doi :10.1103/physreve.76.041101. ISSN 1539-3755. PMID 17994930. S2CID 14742889. Архивировано из оригинала (PDF) 2012-03-23 . Получено 2011-05-29 .

[[15]-10] Метцлер, Ральф; Клафтер, Джозеф (2000). «Руководство случайного блуждания по аномальной диффузии: подход дробной динамики». Physics Reports . 339 (1). Elsevier BV: 1– 77. Bibcode : 2000PhR...339....1M. doi : 10.1016/s0370-1573(00)00070-3. ISSN 0370-1573.

[[16]-11] Qian, H; Wang, H (2006). «Непрерывные случайные блуждания во времени в закрытых и открытых системах с одной молекулой с микроскопической обратимостью». Europhysics Letters (EPL) . 76 (1). IOP Publishing: 15– 21. Bibcode : 2006EL.....76...15Q. doi : 10.1209/epl/i2006-10239-9. ISSN 0295-5075. S2CID 250811921.

[DR-12] Goel NW и Richter-Dyn N. , Стохастические модели в биологии (Academic Press, Нью-Йорк) 1974; ISBN 978-0-12-287460-4 .

[NGK-13] Van Kampen NG, Стохастические процессы в физике и химии , переработанное и дополненное издание (Северная Голландия, Амстердам) 1992; ISBN 978-0-444-52965-7 .

[poly3-14] Doi M. и Edwards SF, Теория динамики полимеров (Clarendon Press, Oxford) 1986; ISBN 978-0-19-852033-7 .

[poly39-15] De Gennes PG, Концепции масштабирования в физике полимеров (Издательство Корнеллского университета, Итака и Лондон) 1979; ISBN 978-0-8014-1203-5 .

[[17]-16] Moerner, WE (1999-03-12). «Освещение отдельных молекул в конденсированных веществах». Science . 283 (5408). Американская ассоциация содействия развитию науки (AAAS): 1670– 1676. Bibcode :1999Sci...283.1670M. doi :10.1126/science.283.5408.1670. ISSN 0036-8075. PMID 10073924.

[[17C]-17] Weiss, S. (1999-03-12). "Флуоресцентная спектроскопия отдельных биомолекул". Science . 283 (5408). Американская ассоциация содействия развитию науки (AAAS): 1676– 1683. Bibcode :1999Sci...283.1676W. doi :10.1126/science.283.5408.1676. ISSN 0036-8075. PMID 10073925.

[[24]-18] Flomenbom, O.; Silbey, RJ (2006-07-10). «Использование информационного содержания в двухуровневых траекториях». Труды Национальной академии наук . 103 (29): 10907– 10910. arXiv : q-bio/0703013 . Bibcode : 2006PNAS..10310907F. doi : 10.1073/pnas.0604546103 . ISSN 0027-8424. PMC 1544147. PMID 16832051 .

[[25]-19] Bruno, WJ; Yang, J.; Pearson, JE (2005-04-20). "Использование независимых переходов из открытого в закрытый для упрощения агрегированных марковских моделей кинетики управления ионными каналами". Труды Национальной академии наук США . 102 (18). Труды Национальной академии наук: 6326– 6331. Bibcode : 2005PNAS..102.6326B. doi : 10.1073/pnas.0409110102 . ISSN 0027-8424. PMC 1088360. PMID 15843461 .

[[27]-20] Flomenbom, Ophir; Klafter, Joseph; Szabo, Attila (2005). «Чему можно научиться из двух состояний одиночных молекулярных траекторий?». Biophysical Journal . 88 (6): 3780– 3783. arXiv : q-bio/0502006 . Bibcode : 2005BpJ....88.3780F. doi : 10.1529/biophysj.104.055905 . ISSN 0006-3495. PMC 1305612. PMID 15764653 .

[[27c]-21] Flomenbom, O.; Silbey, RJ (2008-12-15). "Инструментарий для анализа конечных двухуровневых траекторий". Physical Review E. 78 ( 6): 066105. arXiv : 0802.1520 . Bibcode : 2008PhRvE..78f6105F. doi : 10.1103/physreve.78.066105. hdl : 1721.1/51348 . ISSN 1539-3755. PMID 19256903. S2CID 16196911.

[[14c3]-22] Flomenbom O, Adv. Chem. Phys. 2011; 146, 367; Полная статья

[[26]-23] Cao, Jianshu (2000). "Событийно-усредненные измерения кинетики одиночных молекул". Chemical Physics Letters . 327 ( 1– 2). Elsevier BV: 38– 44. Bibcode : 2000CPL...327...38C. doi : 10.1016/s0009-2614(00)00809-5. ISSN 0009-2614.

[[26a]-24] Yang, Shilong; Cao, Jianshu (2002-12-22). «Прямые измерения эффектов памяти в кинетике одиночных молекул». Журнал химической физики . 117 (24). AIP Publishing: 10996– 11009. Bibcode : 2002JChPh.11710996Y. doi : 10.1063/1.1521155. ISSN 0021-9606.

[[26c]-25] Witkoskie, James B.; Cao, Jianshu (2004). «Кинетика одиночных молекул. I. Теоретический анализ индикаторов». Журнал химической физики . 121 (13). AIP Publishing: 6361– 6372. Bibcode : 2004JChPh.121.6361W. doi : 10.1063/1.1785783. ISSN 0021-9606. PMID 15446933.

[[28]-26] Colquhoun, D.; Hawkes, AG (1982-12-24). "О стохастических свойствах всплесков открытия одиночных ионных каналов и кластеров всплесков". Philosophical Transactions of the Royal Society B: Biological Sciences . 300 (1098). The Royal Society: 1– 59. Bibcode :1982RSPTB.300....1C. doi : 10.1098/rstb.1982.0156 . ISSN 0962-8436. PMID 6131450.

[[18]-27] Меллер, Амит (2003-04-22). "Динамика транспорта полинуклеотидов через поры нанометрового масштаба". Journal of Physics: Condensed Matter . 15 (17). IOP Publishing: R581 – R607 . doi :10.1088/0953-8984/15/17/202. ISSN 0953-8984. S2CID 250907343.

[[19]-28] Чжуан, Сяовэй (2005). «Наука об одиночных молекулах РНК». Ежегодный обзор биофизики и биомолекулярной структуры . 34 (1). Ежегодные обзоры: 399– 414. doi :10.1146/annurev.biophys.34.040204.144641. ISSN 1056-8700. PMID 15869396.

[[20]-29] Lu, HP; Xun, L.; Xie, XS (1998-12-04). "Single-Molecule Enzymatic Dynamics". Science . 282 (5395). Американская ассоциация содействия развитию науки (AAAS): 1877– 1882. Bibcode :1998Sci...282.1877P. doi :10.1126/science.282.5395.1877. PMID 9836635.

[[21]-30] Эдман, Ларс; Фёльдес-Папп, Зено; Веннмальм, Стефан; Риглер, Рудольф (1999). «Флюктуирующий фермент: подход с использованием одной молекулы». Химическая физика . 247 (1). Elsevier BV: 11– 22. Bibcode : 1999CP....247...11E. doi : 10.1016/s0301-0104(99)00098-1. ISSN 0301-0104.

[[22]-31] Flomenbom, O.; Velonia, K.; Loos, D.; Masuo, S.; Cotlet, M.; et al. (2005-02-04). «Растянутый экспоненциальный спад и корреляции в каталитической активности флуктуирующих одиночных молекул липазы». Труды Национальной академии наук . 102 (7): 2368– 2372. Bibcode : 2005PNAS..102.2368F. doi : 10.1073/pnas.0409039102 . ISSN 0027-8424. PMC 548972. PMID 15695587 .

[[22c]-32] Фломенбом, Офир; Хофкенс, Йохан; Велония, Келли; де Шрайвер, Франс К.; Роуэн, Алан Э.; и др. (2006). «Правильная проверка результатов на основе данных об отдельных молекулах: случай растянутого экспоненциального распада в каталитической активности отдельных молекул липазы B». Chemical Physics Letters . 432 ( 1– 3): 371– 374. arXiv : q-bio/0702045 . Bibcode : 2006CPL...432..371F. doi : 10.1016/j.cplett.2006.10.060. ISSN 0009-2614. S2CID 18680839.

[[22d]-33] Велония, Келли; Фломенбом, Офир; Лоос, Дэйви; Масуо, Садахиро; Котлет, Мирча; и др. (2005-01-14). «Кинетика одноферментного гидролиза, катализируемого CALB». Angewandte Chemie International Edition . 44 (4). Wiley: 560– 564. doi :10.1002/anie.200460625. ISSN 1433-7851. PMID 15619259.

[[23]-34] Chung, Inhee; Bawendi, Moungi G. (2004-10-11). "Связь между прерывистостью одиночной квантовой точки и затуханием интенсивности флуоресценции от наборов точек". Physical Review B. 70 ( 16). Американское физическое общество (APS): 165304. Bibcode : 2004PhRvB..70p5304C. doi : 10.1103/physrevb.70.165304. ISSN 1098-0121.

[[29]-35] Баркай, Эли; Юнг, ЮнДжун; Силбей, Роберт (2004). «ТЕОРИЯ СПЕКТРОСКОПИИ ОДИНОЧНОЙ МОЛЕКУЛЫ: за пределами среднего по ансамблю». Annual Review of Physical Chemistry . 55 (1). Annual Reviews: 457– 507. Bibcode : 2004ARPC...55..457B. doi : 10.1146/annurev.physchem.55.111803.143246. ISSN 0066-426X. PMID 15117260.

[[29c]-36] Браун, Фрэнк Л. Х. (2006). «Методы генерирующих функций в спектроскопии одиночных молекул». Accounts of Chemical Research . 39 (6). Американское химическое общество (ACS): 363–373 . doi :10.1021/ar050028l. ISSN 0001-4842. PMID 16784214.

[37] Рискен Х., Уравнение Фоккера-Планка (Springer, Берлин) 1984; ISBN 978-3-642-08409-6 .

[38] Кокс Д.Р., Теория обновления (Метуэн, Лондон) 1962.