Формула Хельффера–Шёстранда

Это математическая страница о формуле Хельффера-Шёстранда.

Формула Хельффера–Шёстранда — математический инструмент, используемый в спектральной теории и функциональном анализе для представления функций самосопряженных операторов . Названная в честь Бернарда Хельффера и Йоханнеса Шёстранда , эта формула позволяет вычислять функции операторов, не требуя от оператора простого или явно известного спектра. Она особенно полезна в квантовой механике , физике конденсированного состояния и других областях, где важно понимание свойств операторов, связанных с энергией или наблюдаемыми. ^[1]

Фон

Если , то мы можем найти функцию такую, что , и для каждого существует такое, что $f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} )$ ${\tilde {f}}\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {C} )$ ${\tilde {f}}|_{\mathbb {R} }=f$ $N\geq 0$ $C_{N}>0$

$|{\bar {\partial }}{\tilde {f}}|\leq C_{N}|\operatorname {Im} z|^{N}.$

Такая функция называется почти аналитическим расширением . ^[2] ${\тильда {ф}}$ $f$

Формула

Если и — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве, то $f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} )$ $А$

$f(A)={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {C} }{\bar {\partial }}{\tilde {f}}(z)(zA)^{-1}\,dx\,dy$ ^[3]

где — почти аналитическое расширение , и . ${\тильда {ф}}$ $f$ ${\bar {\partial }}_{z}:={\frac {1}{2}}(\partial _{Re(z)}+i\partial _{Im(z)})$

Смотрите также

Интегральная формула Коши

Ссылки

^ Мбарек, Айман (июнь 2015 г.). Формула Хельфера-Шёстранда для унитарных операторов. HAL (открыть архив) .{{cite book}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )
^ Димасси, М.; Сьостранд, Дж. (1999). Спектральная асимптотика в полуклассическом пределе. Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511662195. ISBN 978-0-521-66544-5.
^ Хермандер, Ларс (1983). Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I. Классика математики. Springer Nature (опубликовано в 2003 году). doi :10.1007/978-3-642-61497-2. ISBN 978-3-540-00662-6.

Дальнейшее чтение

Конспект лекций по закону Вейля
Спектральные меры: Хельфер-Шёстранд

[1] Мбарек, Айман (июнь 2015 г.). Формула Хельфера-Шёстранда для унитарных операторов. HAL (открыть архив) .{{cite book}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )

[2] Димасси, М.; Сьостранд, Дж. (1999). Спектральная асимптотика в полуклассическом пределе. Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511662195. ISBN 978-0-521-66544-5.

[3] Хермандер, Ларс (1983). Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I. Классика математики. Springer Nature (опубликовано в 2003 году). doi :10.1007/978-3-642-61497-2. ISBN 978-3-540-00662-6.