Теорема Хартогса о раздельной голоморфности

В математике теорема Хартогса является фундаментальным результатом Фридриха Хартогса в теории многих комплексных переменных . Грубо говоря , она утверждает, что «отдельно аналитическая» функция непрерывна. Точнее, если — функция, которая аналитична по каждой переменной z _i , 1 ≤ i ≤ n , а остальные переменные остаются постоянными, то F — непрерывная функция .${\displaystyle F:{\textbf {C}}^{n}\to {\textbf {C}}}$

Следствием является то , что функция F тогда фактически является аналитической функцией в смысле n -переменной (т.е. локально она имеет разложение Тейлора ). Таким образом, «отдельная аналитичность» и «аналитичность» являются совпадающими понятиями в теории многих комплексных переменных.

Начиная с дополнительной гипотезы о том, что функция непрерывна (или ограничена), теорему гораздо легче доказать, и в этой форме она известна как лемма Осгуда .

Аналога этой теоремы для действительных переменных нет . Если предположить , что функция дифференцируема (или даже аналитична ) по каждой переменной в отдельности, то неверно, что она обязательно будет непрерывной. Контрпример в двух измерениях дается формулой${\displaystyle f\colon {\textbf {R}}^{n}\to {\textbf {R}}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}.}$

Если дополнительно определить , эта функция имеет четко определенные частные производные по и в начале координат, но она не является непрерывной в начале координат. (Действительно, пределы вдоль линий и не равны, поэтому нет способа расширить определение , включив в него начало координат и сделав функцию непрерывной там.)${\displaystyle f(0,0)=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle x=-y}$${\displaystyle f}$

• Стивен Г. Кранц . Теория функций нескольких комплексных переменных , AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, 1992.
• Фукс, Борис Абрамович (1963). Теория аналитических функций многих комплексных переменных. Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-4428-0.
• Хермандер, Ларс (1990) [1966], Введение в комплексный анализ нескольких переменных (3-е изд.), Северная Голландия, ISBN 978-1-493-30273-4

• «Теорема Хартогса», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

В данной статье использованы материалы из теоремы Хартогса о раздельной аналитичности из PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .