Гармонический полином

В математике многочлен , лапласиан которого равен нулю, называется гармоническим многочленом . ^{[1] [2]}${\displaystyle p}$

Гармонические многочлены образуют подпространство векторного пространства многочленов над заданным полем . Фактически, они образуют градуированное подпространство . ^[3] Для вещественного поля ( ) гармонические многочлены важны в математической физике. ^{[4] [5] [6]}${\displaystyle \mathbb {R} }$

Лапласиан представляет собой сумму частных производных второго порядка по каждой из переменных и является инвариантным дифференциальным оператором относительно действия ортогональной группы через группу вращений.

Стандартная теорема о разделении переменных ^{[ требуется ссылка ]} утверждает, что любой многомерный многочлен над полем может быть разложен в конечную сумму произведений радиального многочлена и гармонического многочлена. Это эквивалентно утверждению, что кольцо многочленов является свободным модулем над кольцом радиальных многочленов. ^[7]

Рассмотрим степень- одномерный многочлен . Чтобы быть гармоничным, этот многочлен должен удовлетворять${\displaystyle д}$${\displaystyle p(x):=\textstyle \sum _{k=0}^{d}a_{k}x^{k}}$

$${\displaystyle 0={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}p(x)=\sum _{k=2}^{d}k(k-1)a_{k}x^{k-2}}$$во всех точках . В частности, когда , мы имеем многочлен , который должен удовлетворять условию . Следовательно, единственными гармоническими многочленами одной (действительной) переменной являются аффинные функции .${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle d=2}$${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}}$${\displaystyle a_{2}=0}$${\displaystyle x\mapsto a_{0}+a_{1}x}$

В случае нескольких переменных можно найти нетривиальные пространства гармонических многочленов. Рассмотрим, например, двумерный квадратичный многочлен , где — действительные коэффициенты. Лапласиан этого многочлена определяется как$${\displaystyle p(x,y):=a_{0,0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+a_{1,1}xy+a_{2,0}x^{2}+a_{0,2}y^{2},}$$${\displaystyle a_{0,0},a_{1,0},a_{0,1},a_{1,1},a_{2,0},a_{0,2}}$$${\displaystyle \Delta p(x,y)={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}p(x,y)+{\tfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}p(x,y)=2(a_{2,0}+a_{0,2}).}$$

Следовательно, для того, чтобы быть гармоничным, его коэффициенты должны удовлетворять только соотношению . Эквивалентно, все (действительные) квадратичные двумерные гармонические многочлены являются линейными комбинациями многочленов${\displaystyle p(x,y)}$${\displaystyle a_{2,0}=-a_{0,2}}$$${\displaystyle 1,\quad x,\quad y,\quad xy,\quad x^{2}-y^{2}.}$$

Обратите внимание, что, как и в любом векторном пространстве, существуют и другие варианты базиса для этого же пространства полиномов.

Базис для действительных двумерных гармонических полиномов до степени 6 задается следующим образом:$${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{0}(x,y)&=1\\\phi _{1,1}(x,y)&=x&\phi _{1,2}(x,y)&=y\\\phi _{2,1}(x,y)&=xy&\phi _{2,2}(x,y)&=x^{2}-y^{2}\\\phi _{3,1}(x,y)&=y^{3}-3x^{2}y&\phi _{3,2}(x,y)&=x^{3}-3xy^{2}\\\phi _{4,1}(x,y)&=x^{3}y-xy^{3}&\phi _{4,2}(x,y)&=-x^{4}+6x^{2}y^{2}-y^{4}\\\phi _{5,1}(x,y)&=5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}&\phi _{5,2}(x,y)&=x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}\\\phi _{6,1}(x,y)&=3x^{5}y-10x^{3}y^{3}+3xy^{5}&\phi _{6,2}(x,y)&=-x^{6}+15x^{4}y^{2}-15x^{2}y^{4}+y^{6}\end{aligned}}}$$

• Гармоническая функция
• Сферические гармоники
• Зональные сферические гармоники
• Многолинейный полином

• Представления групп Ли колец многочленов Бертрама Костанта, опубликовано в Американском журнале математики, том 85, № 3 (июль 1963 г.), doi : 10.2307/2373130

Эта статья, связанная с полиномами, является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• v
• t
• e

Эта статья по теме «Абстрактная алгебра» — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• v
• t
• e