Многообразие Ханцше–Вендта

Закрытое плоское 3-х кратное

Многообразие Ханцше –Вендта , также известное как многообразие HW или дидикосм , ^[1] представляет собой компактное , ориентируемое , плоское 3-многообразие , впервые изученное Вальтером Ханцше и Хильмаром Вендтом в 1934 году. ^[2] Это единственное замкнутое плоское 3-многообразие с первым числом Бетти, равным нулю. Его группа голономии равна . ^[3] Оно было предложено в качестве возможной формы Вселенной, поскольку его сложная геометрия может скрывать особенности в космическом микроволновом фоне , которые возникли бы, если бы Вселенная была замкнутым плоским многообразием , таким как 3-тор . ^[4] $\mathbb {Z} _{2}^{2}$

Строительство

HW-коллектор может быть построен из двух кубов, которые имеют общую грань. Одна конструкция выполняется следующим образом: ^[5]

Верхняя и нижняя грани склеены друг с другом.
Одна из оставшихся сторон приклеивается к противоположной стороне с поворотом на 180°.
Одна из оставшихся граней верхнего куба приклеена к соответствующей грани нижнего куба, отраженной относительно оси, параллельной длинной оси двойного куба.
Повторите шаг 3 для оставшейся пары граней.

Обобщения

В дополнение к ориентируемому (многообразие Ханцше–Вендта) существуют два неориентируемых плоских 3-многообразия с группой голономии , известные как первый и второй амфидикосмы , оба с первым числом Бетти 1. ^[1] $\mathbb {Z} _{2}^{2}$

Похожие плоские n -мерные многообразия с голономией , известные как обобщенные многообразия Ханцше–Вендта , могут быть построены для любого n ≥2, но ориентируемые из них существуют только в нечетных размерностях. ^[1] Число ориентируемых HW-многообразий с точностью до диффеоморфизма экспоненциально возрастает с размерностью. ^[3] Все они имеют первое число Бетти β ₁ 0 или 1. ^[1] $\mathbb {Z} _{2}^{n-1}$

Число обобщенных HW-многообразий по размерности ^[1]
Измерение	Всего ( OEIS : A124153 )	Ориентируемый	Неориентируемый	β ₁ = 0	β ₁ = 1
2	1	0	1	0	1
3	3	1	2	1	2
4	12	0	12	2	10
5	123	2	121	23	100
6	2536	0	2536	352	2184

Интересные факты

Дидикосм является одноименным термином и играет центральную роль в научно-фантастическом рассказе Грега Игана « Дидикосм » .

Ссылки

^ abcde Россетти, Хуан П.; Щепаньский, Анджей (2005). «Обобщенные плоские многообразия Ганча-Вендта». Revista Matemática Iberoamericana . 21 (3): 1053–1070. arXiv : math/0208205 . дои : 10.4171/RMI/445. S2CID 8222899.
^ Ханцше, Уолтер; Вендт, Хилмар (1935). «Drei Dimensional euklidische Raumformen». Математические Аннален . 110 (1): 593–611. дои : 10.1007/bf01448045. ISSN 0025-5831. S2CID 119961050.
^ аб Миателло, Р.Дж.; Россетти, JP (29 октября 1999 г.). «Изоспектральные многообразия Ганча-Вендта». Journal für die reine und angewandte Mathematik (Журнал Крелля) . 1999 (515): 1–23. doi : 10.1515/crll.1999.077. ISSN 1435-5345.
^ Aurich, R; Lustig, S (21 августа 2014 г.). «Многообразие Ганцше–Вендта в космической топологии». Classical and Quantum Gravity . 31 (16): 165009. arXiv : 1403.2190 . Bibcode :2014CQGra..31p5009A. doi :10.1088/0264-9381/31/16/165009. ISSN 0264-9381. S2CID 119223504.
^ ab Demianski, Marek (2003). "Топология Вселенной и реликтовое излучение". В Sanchez, Norma ; Parijskij, Yuri (ред.). Ранняя Вселенная и реликтовое излучение: теория и наблюдения . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. стр. 166–169. ISBN 978-1-4020-1800-8.

[rossetti-1] Россетти, Хуан П.; Щепаньский, Анджей (2005). «Обобщенные плоские многообразия Ганча-Вендта». Revista Matemática Iberoamericana . 21 (3): 1053–1070. arXiv : math/0208205 . дои : 10.4171/RMI/445. S2CID 8222899.

[2] Ханцше, Уолтер; Вендт, Хилмар (1935). «Drei Dimensional euklidische Raumformen». Математические Аннален . 110 (1): 593–611. дои : 10.1007/bf01448045. ISSN 0025-5831. S2CID 119961050.

[miatello-3] аб Миателло, Р.Дж.; Россетти, JP (29 октября 1999 г.). «Изоспектральные многообразия Ганча-Вендта». Journal für die reine und angewandte Mathematik (Журнал Крелля) . 1999 (515): 1–23. doi : 10.1515/crll.1999.077. ISSN 1435-5345.

[4] Aurich, R; Lustig, S (21 августа 2014 г.). «Многообразие Ганцше–Вендта в космической топологии». Classical and Quantum Gravity . 31 (16): 165009. arXiv : 1403.2190 . Bibcode :2014CQGra..31p5009A. doi :10.1088/0264-9381/31/16/165009. ISSN 0264-9381. S2CID 119223504.

[flatori3-5] Demianski, Marek (2003). "Топология Вселенной и реликтовое излучение". В Sanchez, Norma ; Parijskij, Yuri (ред.). Ранняя Вселенная и реликтовое излучение: теория и наблюдения . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. стр. 166–169. ISBN 978-1-4020-1800-8.