Уравнение Хамады

В корпоративных финансах уравнение Хамады — это уравнение, используемое для разделения финансового риска фирмы с кредитным плечом и ее делового риска. Уравнение объединяет теорему Модильяни–Миллера с моделью ценообразования капитальных активов . Оно используется для определения бета- коэффициента кредитного плеча и, посредством этого, оптимальной структуры капитала фирм. Оно было названо в честь Роберта Хамады , профессора финансов, стоящего за этой теорией.

Уравнение Хамады связывает бету фирмы с заемными средствами (фирмы, финансируемой как за счет долга, так и за счет собственного капитала) с бетой ее не заемной (т. е. фирмы, не имеющей долга) компании. Оно оказалось полезным в нескольких областях финансов, включая структурирование капитала, управление портфелем и управление рисками, и это лишь некоторые из них. Эта формула обычно преподается на курсах MBA по корпоративным финансам и оценке. Она используется для определения стоимости капитала фирмы с заемными средствами на основе стоимости капитала сопоставимых фирм. Здесь сопоставимыми фирмами будут те, которые имеют схожий деловой риск и, таким образом, схожие не заемные беты, как и интересующая фирма.

Уравнение имеет вид ^[1]

${\displaystyle \beta _{L} =\beta _{U}[1+(1-T)\phi ]\qquad (1)}$

где β _L и β _U — бета-коэффициенты с учетом и без учета заемных средств, соответственно, T — налоговая ставка и кредитное плечо, определяемое здесь как отношение долга, D , к собственному капиталу, E , фирмы.${\displaystyle \фи \,\!}$

Важность уравнения Хамады заключается в том, что оно разделяет риск бизнеса, отраженный здесь бетой фирмы без заемных средств, β _U , от риска ее заемного аналога, β _L , который содержит финансовый риск заемных средств. Помимо влияния налоговой ставки, которая обычно принимается постоянной, расхождение между двумя бетами можно объяснить исключительно тем, как финансируется бизнес.

Уравнение часто ошибочно считается верным в общем случае. Однако в основе уравнения Хамады лежит несколько ключевых предположений : ^[2]

1. Формула Хамады основана на формулировке Модильяни и Миллера значений налогового щита для постоянного долга , т. е. когда долларовая сумма долга постоянна с течением времени. Формулы неверны, если фирма следует политике постоянного левериджа , т. е. фирма перебалансирует свою структуру капитала таким образом, чтобы долговой капитал оставался на постоянном уровне процента от собственного капитала, что является более распространенным и реалистичным предположением, чем фиксированный долларовый долг (Brealey, Myers, Allen, 2010). Если предполагается, что фирма постоянно перебалансирует свое отношение долга к собственному капиталу, уравнение Хамады заменяется уравнением Харриса-Прингла; если фирма перебалансирует только периодически, например, раз в год, следует использовать уравнение Майлза-Эззелла.
2. Бета долга β _D равна нулю. Это тот случай, когда долговой капитал имеет незначительный риск того, что процентные и основные платежи не будут произведены в срок. Своевременные выплаты процентов подразумевают, что налоговые вычеты по процентным расходам также будут реализованы — в период, в котором выплачиваются проценты.
3. Ставка дисконтирования, используемая для расчета налогового щита, предполагается равной стоимости заемного капитала (таким образом, налоговый щит имеет тот же риск, что и долг). Это и предположение о постоянном долге в (1) подразумевают, что налоговый щит пропорционален рыночной стоимости долга: налоговый щит = T×D .

Это упрощенное доказательство основано на оригинальной статье Хамады (Hamada, RS 1972). Мы знаем, что бета компании равна:

${\displaystyle \beta _{i}={\frac {cov(r_{i},r_{M})}{\sigma ^{2}(r_{M})}}\qquad (2)}$

Мы также знаем, что доходность капитала компании с заемным капиталом и без него составляет:

${\displaystyle r_{E,U}={\frac {EBIT(1-T)-\Delta IC}{E_{U}}}\qquad (3)}$

${\displaystyle r_{E,L}={\frac {EBIT(1-T)-\Delta IC+Debt_{new}-Interest}{E_{L}}}\qquad (4)}$

Где — сумма чистых капитальных затрат и изменения чистого оборотного капитала. Если мы подставим уравнения (3) и (4) в (2), то получим эти формулы (5), если предположим, что ковариации между рынком и компонентами собственного денежного потока равны нулю (следовательно, β _∆IC =β _{Новый долг} =β _{Процент} =0 ), за исключением ковариации между EBIT и рынком:${\displaystyle \Дельта ИК}$

${\displaystyle \beta _{U}={\frac {cov({\frac {EBIT(1-T)}{E_{U}}},r_{M})}{\sigma ^{2}(r_{M})}}}$

${\displaystyle \beta _{L}={\frac {cov({\frac {EBIT(1-T)}{E_{L}}},r_{M})}{\sigma ^{2}(r_{M})}}}$

${\ displaystyle E_ {L} \ beta _ {L} = E_ {U} \ beta _ {U} \ rightarrow \ beta _ {L} = {\ frac {E_ {U}} {E_ {L}}} \ бета _{U}}$

Чтобы получить известное уравнение, предположим, что стоимость активов фирмы и стоимость ее капитала равны, если фирма полностью финансируется за счет капитала, а налоговая ставка равна нулю. Математически это означает стоимость фирмы без заемных средств, когда налоговая ставка равна нулю: V _U =V _A =E _U . Если мы зафиксируем стоимость фирмы без заемных средств и изменим часть капитала на заемные средства ( D>0 ), стоимость фирмы останется прежней, поскольку нет корпоративного налога. В этой ситуации стоимость фирмы с заемными средствами равна (6):

${\displaystyle V_{L}=V_{U}=V_{A}=E_{U}=E_{L|T=0}+D}$

Если налоговая ставка больше нуля ( T>0 ) и существует финансовый леверидж ( D>0 ), то фирма с заемными средствами и фирма без заемных средств не равны, поскольку стоимость фирмы с заемными средствами больше на текущую стоимость налогового щита:

${\displaystyle \sum _{i}{\frac {Dr_{D}T}{(1+r_{D})^{i}}}={\frac {Dr_{D}T}{r_{D}}}=DT}$,

итак (7):

${\displaystyle V_{L}=V_{\{U,A\}}+DT=E_{U}+DT=E_{L|T=0}+D+DT=E_{L|T>0}+D}$

Где V _A — стоимость активов фирмы без заемных средств, которую мы зафиксировали выше. Из уравнения (7) E _U равно (8)

${\displaystyle E_{U}=E_{L|T>0}+D-DT}$

Объедините уравнения (5) и (8), чтобы получить известную формулу для бета-коэффициента заемных средств и без них:

${\displaystyle \beta _{L}={\frac {E_{L}+D-DT}{E_{L}}}\beta _{U}=\left[1+{\frac {D}{E_ {L}}}(1-T)\right]\beta _{U}=\beta _{U}[1+(1-T)\phi ]}$

Где I — сумма процентных платежей, E — капитал, D — долг, V — стоимость категории фирмы (с использованием или без использования кредита), A — активы, M относится к рынку, L означает с использованием кредита, U означает категорию без использования кредита, r — норма прибыли, а T обозначает налоговую ставку.

• Брили, Р., Майерс, С. и Аллен, Ф. (2010) « Принципы корпоративных финансов », McGraw-Hill, Нью-Йорк, 10-е издание, гл. 19, стр. 485–486.
• Коэн, Р.Д. (2007) «Включение риска дефолта в уравнение Хамады для применения к структуре капитала», Wilmott Magazine (скачать статью)
• Конин, TE и Тамаркин, M. (1985) «Оценка стоимости капитала подразделения: корректировка с учетом левериджа», Financial Management 14 , весенний выпуск, стр. 54.
• Харрис, Р.С. и Прингл, Дж.Дж. (1985) «Ставки дисконтирования с поправкой на риск — расширения случая среднего риска», Журнал финансовых исследований , (осень 1985 г.): 237–244.
• Майлз, Дж. и Эззелл, Дж. (1980) «Средневзвешенная стоимость капитала, совершенные рынки капитала и срок службы проекта: разъяснение». Журнал финансового и количественного анализа 15: 719–730.