Решетчатые лепестки

Для дискретных апертурных антенн (таких как фазированные решетки ), в которых расстояние между элементами больше половины длины волны, пространственный эффект наложения позволяет когерентно добавлять плоские волны, падающие на решетку с видимых углов, отличных от желаемого направления, вызывая появление лепестков решетки . Лепестки решетки нежелательны и идентичны главному лепестку. Воспринимаемая разница, наблюдаемая в лепестках решетки, обусловлена ​​диаграммой направленности неизотропных элементов антенны, которая по-разному влияет на главные и лепестки решетки. Для изотропных элементов антенны главные и лепестки решетки идентичны.

В антенных или преобразовательных решетках лепесток решетки определяется как «лепесток, отличный от главного лепестка, создаваемый антенной решеткой, когда расстояние между элементами достаточно велико, чтобы обеспечить синфазное сложение излучаемых полей в более чем одном направлении» ^{[1] .}

Для иллюстрации концепции лепестков решетки мы будем использовать простую однородную линейную решетку. Диаграмма направленности (или коэффициент решетки ) любой решетки может быть определена как скалярное произведение вектора управления и вектора коллектора решетки. Для однородной линейной решетки вектор коллектора равен , где — разность фаз между соседними элементами, созданная падающей плоской волной с произвольного направления, — номер элемента, — общее количество элементов. Термин просто центрирует точку отсчета для фазы относительно физического центра решетки. Из простой геометрии можно показать, что , где определяется как угол падения плоской волны, где — плоская волна, падающая ортогонально решетке (от оси визирования). ^[2]${\displaystyle {\vec {v}}(\psi )=e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }}$${\displaystyle \пси}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\frac {N-1}{2}}}$${\displaystyle \пси}$${\displaystyle \psi ={\frac {2\pi }{\lambda }}d\times cos\theta }$${\displaystyle \тета}$${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$

Для равномерно взвешенного (неконусного) равномерного линейного массива вектор управления имеет форму, подобную вектору коллектора, но «управляется» к целевой фазе, , которая может отличаться от фактической фазы, падающего сигнала. Результирующий нормализованный фактор массива является функцией разности фаз, . ^[3]${\displaystyle \psi _{T}}$${\displaystyle \пси}$${\displaystyle \psi _{\Delta }=\psi -\psi _{T}}$

${\displaystyle AF={\frac {1}{N}}{\vec {v}}^{H}(\psi _{T}){\vec {v}}(\psi )={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}e^{-j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi _{T}}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }={\frac {1}{N}}e^{-j{\frac {N-1}{2}}\psi _{\Delta }}\sum _{n=0}^{N-1}e^{jn\psi _{\Delta }}={\frac {sin\left(N{\frac {\psi _{\Delta }}{2}}\right)}{Nsin{\frac {\psi _{\Delta }}{2}}}},-\infty <\psi _{\Delta }<\infty }$

Коэффициент решетки, таким образом, является периодическим и максимизируется всякий раз, когда числитель и знаменатель оба равны нулю, по правилу Лопиталя . Таким образом, максимум единицы получается для всех целых чисел , где . Возвращаясь к нашему определению , мы хотим иметь возможность управлять решеткой электронным способом по всей видимой области , которая простирается от до , не создавая при этом лепесток решетки. Для этого требуется, чтобы лепестки решетки были разделены по крайней мере . Из определения мы видим, что максимумы будут возникать всякий раз, когда . Первый лепесток решетки будет возникать при . Для луча, направленного на , мы требуем, чтобы лепесток решетки был не ближе, чем . Таким образом .${\displaystyle n}$${\displaystyle \psi _{\Delta }=2\pi n}$${\displaystyle \тета}$${\displaystyle \theta =0^{\circ }}$${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$${\displaystyle 180^{\circ}}$${\displaystyle \пси}$${\displaystyle 2\pi n={\frac {2\pi }{\lambda }}d\times \left(cos\theta -cos\theta _{T}\right)}$${\displaystyle |n|=1}$${\displaystyle \theta _{T}=180^{\circ }}$${\displaystyle \theta =0^{\circ }}$${\displaystyle d={\frac {2\пи \лямбда}{2\пи \влево(1+1\вправо)}}={\frac {\лямбда}{2}}}$

В качестве альтернативы можно рассматривать равномерную линейную решетку (ULA) как пространственную выборку сигнала в том же смысле, что и временную выборку сигнала. Лепестки решетки идентичны наложению спектров, которое происходит при анализе временных рядов для недостаточно дискретизированного сигнала. ^[4] Согласно теореме Шеннона о выборке , частота выборки должна быть как минимум в два раза больше самой высокой частоты желаемого сигнала, чтобы исключить спектральное наложение спектров. Поскольку диаграмма направленности (или коэффициент решетки ) линейной решетки является преобразованием Фурье диаграммы элементов, ^[5] теорема о выборке применяется напрямую, но в пространственной, а не в спектральной области. Дискретно-временное преобразование Фурье (DTFT) дискретизированного сигнала всегда является периодическим, создавая «копии» спектра с интервалами частоты выборки. В пространственной области эти копии являются лепестками решетки. Аналогом радианной частоты во временной области является волновое число , радианы на метр, в пространственной области. Следовательно, пространственная частота выборки в выборках на метр должна быть . Интервал выборки, который является обратной величиной частоты выборки, в метрах на выборку, должен быть .${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$${\displaystyle \geq 2{\frac {образцы}{цикл}}\times {\frac {k{\frac {радианы}{метр}}}{2\pi {\frac {радианы}{цикл}}}}}$${\displaystyle \leq {\frac {\lambda }{2}}}$