Голигон

Голигон , или, в более общем смысле, последовательный изогон 90° , — это любой многоугольник со всеми прямыми углами ( прямолинейный многоугольник ), стороны которого имеют последовательные целые длины. Голигоны были изобретены и названы Ли Сэллоусом , и популяризированы AK Dewdney в колонке Scientific American 1990 года (Смит). ^[1] Вариации определения голигонов включают разрешение ребрам пересекаться, использование последовательностей длин ребер, отличных от последовательных целых чисел, и рассмотрение углов поворота, отличных от 90°. ^[2]

В любом голигоне все горизонтальные ребра имеют одинаковую четность , как и все вертикальные ребра. Поэтому число сторон n должно позволять решить систему уравнений

${\displaystyle \pm 1\pm 3\pm \cdots \pm (n-1)=0}$

${\displaystyle \pm 2\pm 4\pm \cdots \pm n=0.}$

Из этого следует, что n должно быть кратно 8. Например, на рисунке имеем и .${\displaystyle -1+3+5-7=0}$${\displaystyle 2-4-6+8=0}$

Число голигонов для заданного допустимого значения n может быть эффективно вычислено с использованием производящих функций (последовательность A007219 в OEIS ). Число голигонов для допустимых значений n равно 4, 112, 8432, 909288 и т. д. ^[3] Нахождение числа решений, соответствующих непересекающимся голигонам, кажется значительно более сложным.

Существует уникальный восьмисторонний голигон (показан на рисунке); он может замостить плоскость, повернувшись на 180 градусов, используя критерий Конвея .

• 
  16-гранный голигон. Спиролатеральная 16 _90° ^1,3,6,8,11
• 
  32-гранный голигон. Спиролатеральный 32 _90° ^{1,3,5,7,11,12,14,17,19,21,23,26,29,31}

Последовательно -сторонний изогон порядка n — это замкнутый многоугольник с постоянным углом в каждой вершине и имеющий последовательные стороны длиной 1, 2, ..., n единиц. Многоугольник может быть самопересекающимся. ^[4] Голигоны — это особый случай последовательно-сторонних изогонов. ^[5]

Спиролатераль — это похожая конструкция, обозначаемая n _θ ^{i ₁ , i ₂ ,..., i _{k ,}} которая последовательности длин 1,2,3,..., n с внутренними углами θ, с возможностью повторения до тех пор, пока она не вернется к закрытию с исходной вершиной. Верхние индексы i ₁ , i ₂ ,..., i _k перечисляют ребра, которые следуют противоположным направлениям поворота.

• 
  Последовательно-сторонний изогон порядка 9, внутренний угол 60°. ^[5]
  Спиролатеральный 60° ₉ ^1,4,7 .
• 
  Последовательно-сторонний изогон порядка 11, внутренний угол 60°. ^[5]
  Спиролатеральный 60° ₁₁ ^4,5,7,8 .
• 
  Последовательно-сторонний изогон порядка 12, внутренний угол 120°. ^[5]
  Спиролатеральный 120° ₁₂ ^1,4,8 .
• 
  Последовательно-сторонний изогон порядка 5, внутренние углы 60° и 120°. ^[5]

Трехмерное обобщение голигона называется голиэдром — замкнутой односвязной объемной фигурой, ограниченной гранями кубической решетки и имеющей площади граней в последовательности 1, 2, ..., n для некоторого целого числа n , впервые представленной в вопросе MathOverflow. ^{[6] [7]}

Были найдены голиэдры со значениями n, равными 32, 15, 12 и 11 (минимально возможное). ^[8]

• Голигоны в Онлайновой энциклопедии целочисленных последовательностей