Модель глобальных каскадов

Модели глобальных каскадов — это класс моделей, нацеленных на моделирование больших и редких каскадов, которые вызываются экзогенными возмущениями, относительно малыми по сравнению с размером системы. Это явление повсеместно встречается в различных системах, например, информационные каскады в социальных системах, крахи фондового рынка в экономических системах и каскадные сбои в сетях физической инфраструктуры. Модели охватывают некоторые существенные свойства такого явления.

Описание модели

Для описания и понимания глобальных каскадов в 2002 году Дунканом Дж. Уоттсом была предложена пороговая модель на основе сети. ^[1] Модель мотивирована рассмотрением популяции индивидов, которые должны принять решение между двумя альтернативами, и их выбор явно зависит от состояний или выборов других людей. Модель предполагает, что индивид примет новое конкретное мнение (продукт или состояние), если пороговая доля его/ее соседей приняла новое мнение, в противном случае он сохранит свое исходное состояние. Для инициирования модели новое мнение будет случайным образом распределено среди небольшой доли индивидов в сети. Если дробь удовлетворяет определенному условию, может быть запущен большой каскад (см. Условие глобальных каскадов). Было обнаружено явление фазового перехода : когда сеть межличностных влияний разрежена, размер каскадов демонстрирует степенное распределение, наиболее тесно связанные узлы имеют решающее значение для запуска каскадов, а если сеть относительно плотная, распределение демонстрирует бимодальную форму, в которой узлы со средней степенью демонстрируют большую важность, выступая в качестве триггеров.

Несколько обобщений пороговой модели Уатта были предложены и проанализированы в последующие годы. Например, исходная модель была объединена с независимыми моделями взаимодействия, чтобы предоставить обобщенную модель социального заражения, которая классифицирует поведение системы на три универсальных класса. ^[2] Она также была обобщена на модульные сети ^[3], сети со степенью корреляции ^[4] и на сети с настраиваемой кластеризацией. ^[5] Роль инициаторов также была недавно изучена, показывает, что различные инициаторы будут влиять на размер каскадов. ^[6] Пороговая модель Уатта является одной из немногих моделей, которая показывает качественные различия в мультиплексных сетях и однослойных сетях. ^[7] Кроме того, она может демонстрировать широкое и многомодальное распределение размеров каскадов в конечных сетях. ^[8]

Состояние глобальных каскадов

Для получения точного каскадного условия в исходной модели можно применить метод производящей функции . ^[1] Производящая функция для уязвимых узлов в сети выглядит следующим образом:

G_{0}(x)=\sum _{k}\rho _{k}p_{k}x^{k},

где p _k — вероятность того, что узел имеет степень k , и

\rho _{k}={\begin{cases}1&k=0\\\int _{0}^{1/k}f(\chi )\,d\chi &k>0\\\end{cases}}

и f — распределение пороговой доли особей. Средний размер уязвимого кластера можно получить как:

\langle n\rangle =G_{0}(1)+{\frac {G_{0}'(1)^{2}}{z-G_{0}''(1)}}

где z — средняя степень сети. Глобальные каскады возникают, когда средний размер уязвимого кластера ⟨ n ⟩ расходится ^[1]

G_{0}''(1)=\sum _{k}k(k-1)\rho _{k}p_{k}=z

Уравнение можно интерпретировать следующим образом: Когда , кластеры в сети малы и глобальные каскады не произойдут, поскольку ранние последователи изолированы в системе, поэтому не может быть создан достаточный импульс. Когда , типичный размер уязвимого кластера бесконечен, что подразумевает наличие глобальных каскадов. $G_{0}''(1)<z$ $G_{0}''(1)>z$

Связь с другими моделями заражения

Модель рассматривает изменение состояния индивидуумов в различных системах, что относится к более широкому классу проблем заражения. Однако она отличается от других моделей в нескольких аспектах: По сравнению с 1) моделью эпидемии : где события заражения между парами индивидуумов независимы, эффект, который один инфицированный узел оказывает на индивидуума, зависит от других соседей индивидуума в предлагаемой модели. В отличие от 2) моделей перколяции или самоорганизованной критичности , порог не выражается как абсолютное число «инфицированных» соседей вокруг индивидуума, вместо этого выбирается соответствующая доля соседей. Она также отличается от 3) модели случайного поля Изинга и модели большинства избирателей , которые часто анализируются на регулярных решетках, однако здесь неоднородность сети играет значительную роль.

Смотрите также

Ссылки

^ abc Watts, DJ (2002). "Простая модель глобальных каскадов в случайных сетях". Труды Национальной академии наук . 99 (9): 5766– 5771. Bibcode : 2002PNAS...99.5766W. doi : 10.1073 /pnas.082090499 . PMC 122850. PMID 16578874.
^ Доддс, П.; Уоттс, Д. (2004). «Универсальное поведение в обобщенной модели заражения». Physical Review Letters . 92 (21): 218701. arXiv : cond-mat/0403699 . Bibcode : 2004PhRvL..92u8701D. doi : 10.1103/PhysRevLett.92.218701. PMID 15245323. S2CID 2450776.
^ Gleeson, James.P (2008). "Каскады в коррелированных и модульных случайных сетях". Physical Review E. 77 ( 4): 046117. Bibcode : 2008PhRvE..77d6117G. doi : 10.1103/PhysRevE.77.046117. PMID 18517700.
^ Доддс, Питер Шеридан; Пейн, Джошуа Л. (2009). «Анализ пороговой модели социального заражения в сетях с корреляцией по степени». Physical Review E. 79 ( 6): 066115. arXiv : 0903.0597 . Bibcode : 2009PhRvE..79f6115D. doi : 10.1103/PhysRevE.79.066115. PMID 19658572. S2CID 14185789.
^ Хакетт, Адам; Мельник, Сергей; Глисон, Джеймс.П (2011). «Каскады в классе кластеризованных случайных сетей». Physical Review E. 83 ( 5): 056107. arXiv : 1012.3651 . Bibcode : 2011PhRvE..83e6107H. doi : 10.1103/PhysRevE.83.056107. PMID 21728605. S2CID 18071422.
^ Сингх, П.; Шринивасан, С.; Шимански, Б.К.; Корнисс, Г. (2013). «Ограниченное порогом распространение в социальных сетях с несколькими инициаторами». Scientific Reports . 387 (11): 2637–2652 . Bibcode : 2008PhyA..387.2637K. doi : 10.1016/j.physa.2008.01.015.
^ Burkholz, R.; Leduc, MV; Garas, A.; Schweitzer, F. (2016). «Системный риск в мультиплексных сетях с асимметричной связью и пороговой обратной связью». Physica D: Nonlinear Phenomena . 323– 324: 64– 72. arXiv : 1506.06664 . Bibcode : 2016PhyD..323...64B. doi : 10.1016/j.physd.2015.10.004. S2CID 53126169.
^ Буркхольц, Р.; Херрманн, Х. Дж.; Швейцер, Ф. (2018). «Явные распределения размеров каскадов отказов переопределяют системный риск в конечных сетях». Scientific Reports . 8 (1): 6878. arXiv : 1802.03286 . Bibcode :2018NatSR...8.6878B. doi :10.1038/s41598-018-25211-3. PMC 5932047 . PMID 29720624.

[PNAS2002-1] Watts, DJ (2002). "Простая модель глобальных каскадов в случайных сетях". Труды Национальной академии наук . 99 (9): 5766– 5771. Bibcode : 2002PNAS...99.5766W. doi : 10.1073 /pnas.082090499 . PMC 122850. PMID 16578874.

[2] Доддс, П.; Уоттс, Д. (2004). «Универсальное поведение в обобщенной модели заражения». Physical Review Letters . 92 (21): 218701. arXiv : cond-mat/0403699 . Bibcode : 2004PhRvL..92u8701D. doi : 10.1103/PhysRevLett.92.218701. PMID 15245323. S2CID 2450776.

[3] Gleeson, James.P (2008). "Каскады в коррелированных и модульных случайных сетях". Physical Review E. 77 ( 4): 046117. Bibcode : 2008PhRvE..77d6117G. doi : 10.1103/PhysRevE.77.046117. PMID 18517700.

[4] Доддс, Питер Шеридан; Пейн, Джошуа Л. (2009). «Анализ пороговой модели социального заражения в сетях с корреляцией по степени». Physical Review E. 79 ( 6): 066115. arXiv : 0903.0597 . Bibcode : 2009PhRvE..79f6115D. doi : 10.1103/PhysRevE.79.066115. PMID 19658572. S2CID 14185789.

[5] Хакетт, Адам; Мельник, Сергей; Глисон, Джеймс.П (2011). «Каскады в классе кластеризованных случайных сетей». Physical Review E. 83 ( 5): 056107. arXiv : 1012.3651 . Bibcode : 2011PhRvE..83e6107H. doi : 10.1103/PhysRevE.83.056107. PMID 21728605. S2CID 18071422.

[6] Сингх, П.; Шринивасан, С.; Шимански, Б.К.; Корнисс, Г. (2013). «Ограниченное порогом распространение в социальных сетях с несколькими инициаторами». Scientific Reports . 387 (11): 2637–2652 . Bibcode : 2008PhyA..387.2637K. doi : 10.1016/j.physa.2008.01.015.

[7] Burkholz, R.; Leduc, MV; Garas, A.; Schweitzer, F. (2016). «Системный риск в мультиплексных сетях с асимметричной связью и пороговой обратной связью». Physica D: Nonlinear Phenomena . 323– 324: 64– 72. arXiv : 1506.06664 . Bibcode : 2016PhyD..323...64B. doi : 10.1016/j.physd.2015.10.004. S2CID 53126169.

[8] Буркхольц, Р.; Херрманн, Х. Дж.; Швейцер, Ф. (2018). «Явные распределения размеров каскадов отказов переопределяют системный риск в конечных сетях». Scientific Reports . 8 (1): 6878. arXiv : 1802.03286 . Bibcode :2018NatSR...8.6878B. doi :10.1038/s41598-018-25211-3. PMC 5932047 . PMID 29720624.