Теорема Глейшера

В теории чисел теорема Глейшера — это тождество, полезное для изучения целочисленных разбиений . Доказанная в 1883 году [ ^1] Джеймсом Уитбредом Ли Глейшером , она утверждает, что число разбиений целого числа на части, не делящиеся на равно числу разбиений, в которых ни одна часть не повторяется или не более раз. Это обобщает результат, установленный в 1748 году Леонардом Эйлером для случая .${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d=2}$

Он гласит, что количество разбиений целого числа на части, не делящиеся на , равно количеству разбиений, в которых ни одна часть не повторяется d или более раз, что можно формально записать в виде разбиений вида , где и .${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{k}}$${\displaystyle \lambda _{i}\geq \lambda _{i+1}}$${\displaystyle \lambda _{i}\geq \lambda _{i+d-1}+1}$

Когда это становится частным случаем, известным как теорема Эйлера, то число разбиений на различные части равно числу разбиений на нечетные части.${\displaystyle d=2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

В следующих примерах мы используем нотацию кратности разбиений. Например, это нотация для разбиения 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 3.${\displaystyle 1^{4}2^{1}3^{2}}$

Среди 15 разбиений числа 7 есть 5, выделенные жирным шрифтом ниже, которые содержат только нечетные части (т.е. только нечетные числа):

${\displaystyle \mathbf {7} ,6^{1}1^{1},5^{1}2^{1},\mathbf {5^{1}1^{2}} ,4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},\mathbf {3^{2}1^{1}} ,3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},\mathbf {3^{1}1^{4}} ,2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},\mathbf {1^{7}} }$

Если теперь посчитать разбиения числа 7 на отдельные части (т.е. где ни одно число не повторяется), то мы также получим 5:

${\displaystyle \mathbf {7} ,\mathbf {6^{1}1^{1}} ,\mathbf {5^{1}2^{1}} ,5^{1}1^{2},\mathbf {4^{1}3^{1}} ,\mathbf {4^{1}2^{1}1^{1}} ,4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}$

Выделенные жирным шрифтом разделы в первом и втором случае не одинаковы, и неясно, почему их количество одинаково.

Среди 11 разбиений числа 6 есть 7, выделенных жирным шрифтом ниже, которые содержат только части, не делящиеся на 3:

${\displaystyle 6,\mathbf {5^{1}1^{1}} ,\mathbf {4^{1}2^{1}} ,\mathbf {4^{1}1^{2}} ,3^{2},3^{1}2^{1}1^{1},3^{1}1^{3},\mathbf {2^{3}} ,\mathbf {2^{2}1^{2}} ,\mathbf {2^{1}1^{4}} ,\mathbf {1^{6}} }$

А если мы посчитаем разбиения числа 6, в которых ни одна часть не повторяется более 2 раз, то мы также получим 7:${\displaystyle \mathbf {6} ,\mathbf {5^{1}1^{1}} ,\mathbf {4^{1}2^{1}} ,\mathbf {4^{1}1^{2}} ,\mathbf {3^{2}} ,\mathbf {3^{1}2^{1}1^{1}} ,3^{1}1^{3},2^{3},\mathbf {2^{2}1^{2}} ,2^{1}1^{4},1^{6}}$

Доказательство теоремы можно получить с помощью производящих функций . Если мы отметим число разбиений без частей, делящихся на d , и число разбиений без частей, повторяющихся более d-1 раз, то теорема означает, что для всех n . Уникальность обычных производящих функций подразумевает, что вместо доказательства того, что для всех n, достаточно доказать, что производящие функции и равны, т.е. что .${\displaystyle p_{d}(n)}$${\displaystyle q_{d}(n)}$${\displaystyle p_{d}(n)=q_{d}(n)}$${\displaystyle p_{d}(n)=q_{d}(n)}$${\displaystyle p_{d}(n)}$${\displaystyle q_{d}(n)}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p_{d}(n)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }q_{d}(n)x^{n}}$

Каждая производящая функция может быть переписана в виде бесконечных произведений (методом, аналогичным бесконечному произведению функции распределения ):

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p_{d}(n)x^{n}=\prod _{n=1,d\nmid n}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{n}}}}$(т.е. произведение членов, где n не делится на d ).

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q_{d}(n)x^{n}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-x^{dn}}{1-x^{n}}}}$

Если мы разложим бесконечное произведение на :${\displaystyle q_{d}(n)}$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-x^{dn}}{1-x^{n}}}={\frac {1-x^{d}}{1-x}}{\frac {1-x^{2d}}{1-x^{2}}}\dots {\frac {1-x^{kd}}{1-x^{k}}}\dots }$

мы видим, что каждый член в числителе сокращается с соответствующим кратным d в знаменателе. То, что остается после сокращения всех членов числителя, — это в точности бесконечное произведение для .${\displaystyle p_{d}(n)}$

Следовательно, производящие функции для и равны.${\displaystyle p_{d}(n)}$${\displaystyle q_{d}(n)}$

Если вместо подсчета числа разделов с различными частями мы подсчитываем число разделов с частями, отличающимися по крайней мере на 2, возможно дальнейшее обобщение. Впервые оно было обнаружено Леонардом Джеймсом Роджерсом в 1894 году, а затем независимо Рамануджаном в 1913 году и Шуром в 1917 году в том, что сейчас известно как тождества Роджерса-Рамануджана . Оно гласит, что:

1) Число разбиений, части которых отличаются не менее чем на 2, равно числу разбиений, включающих только числа, сравнимые с 1 или 4 (mod 5).

2) Число разбиений, части которых отличаются не менее чем на 2, а наименьшая часть не менее чем на 2, равно числу разбиений, включающих только числа, сравнимые с 2 или 3 (mod 5).

Например, существует только 3 разбиения числа 7, выделенных жирным шрифтом ниже, на части, отличающиеся как минимум на 2 (примечание: если число повторяется в разбиении, это означает разницу в 0 между двумя частями, поэтому разбиение не учитывается):

${\displaystyle \mathbf {7} ,\mathbf {6^{1}1^{1}} ,\mathbf {5^{1}2^{1}} ,5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}$

И также есть только 3 раздела из 7, включающие только части 1, 4, 6:

${\displaystyle 7,\mathbf {6^{1}1^{1}} ,5^{1}2^{1},5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},\mathbf {4^{1}1^{3}} ,3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},\mathbf {1^{7}} }$

В качестве примера второго утверждения тождеств Роджерса-Рамануджана рассмотрим разбиения числа 7 с дополнительным ограничением наименьшей части не менее 2, а их всего 2, выделенные жирным шрифтом ниже:

${\displaystyle \mathbf {7} ,6^{1}1^{1},\mathbf {5^{1}2^{1}} ,5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}$

И также есть только 2 раздела из 7, включающие только части 2, 3, 7:

${\displaystyle \mathbf {7} ,6^{1}1^{1},5^{1}2^{1},5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},\mathbf {3^{1}2^{2}} ,3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}$

• DH Lehmer (1946). «Две теоремы о несуществовании на разбиениях». Bull. Amer. Math. Soc. 52 (6): 538–544. doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08605-X .