Геометрически необходимые дислокации

Геометрически необходимые дислокации — это дислокации одного знака, необходимые для приспособления к пластическому изгибу в кристаллическом материале . ^[1] Они присутствуют, когда пластическая деформация материала сопровождается внутренними градиентами пластической деформации. ^[2] Они противопоставляются статистически сохраненным дислокациям со статистикой равных положительных и отрицательных знаков, которые возникают во время пластического течения из-за процессов размножения, таких как источник Франка-Рида.

По мере прогрессирования деформации плотность дислокаций увеличивается, а подвижность дислокаций уменьшается во время пластического течения. Существуют различные способы, посредством которых дислокации могут накапливаться. Многие из дислокаций накапливаются путем умножения, когда дислокации сталкиваются друг с другом случайно. Дислокации, хранящиеся в таких прогрессиях, называются статистически хранящимися дислокациями с соответствующей плотностью . ^[2] Другими словами, это дислокации, возникшие в результате случайных процессов захвата во время пластической деформации. ^[3]${\displaystyle \rho _{s}}$

В дополнение к статистически сохраненным дислокациям, геометрически необходимые дислокации накапливаются в полях градиентов деформации, вызванных геометрическими ограничениями кристаллической решетки. В этом случае пластическая деформация сопровождается внутренними градиентами пластической деформации. Теория геометрически необходимых дислокаций была впервые введена Наем ^[4] в 1953 году. Поскольку в дополнение к статистически сохраненным дислокациям присутствуют геометрически необходимые дислокации, общая плотность представляет собой накопление двух плотностей, например , , где — плотность геометрически необходимых дислокаций.${\displaystyle \rho _{s}+\rho _{g}}$${\displaystyle \rho _{g}}$

Пластический изгиб монокристалла можно использовать для иллюстрации концепции геометрически необходимой дислокации, где плоскости скольжения и кристаллические ориентации параллельны направлению изгиба. Идеальный (недеформированный) кристалл имеет длину и толщину . Когда кристаллический стержень изгибается до радиуса кривизны , образуется градиент деформации, где в верхней части кристаллического стержня возникает деформация растяжения, увеличивая длину верхней поверхности от до . Здесь положительно и предполагается, что его величина равна . Аналогично, длина противоположной внутренней поверхности уменьшается от до из-за деформации сжатия, вызванной изгибом. Таким образом, градиент деформации представляет собой разность деформаций между внешней и внутренней поверхностями кристалла, деленную на расстояние, на котором существует градиент${\displaystyle l}$${\displaystyle t}$${\displaystyle r}$${\displaystyle l}$${\displaystyle l+dl}$${\displaystyle dl}$${\displaystyle t\theta /2}$${\displaystyle l}$${\displaystyle l-dl}$

${\displaystyle strain\ gradient=2{\frac {dl/l}{t}}=2{\frac {t\theta /2l}{t}}={\frac {\theta }{l}}}$. С , .${\displaystyle l=r\theta }$${\displaystyle strain\ gradient={\frac {1}{r}}}$

Длина поверхности, деленная на межатомное расстояние, есть число кристаллических плоскостей на этой поверхности. Межатомное расстояние равно величине вектора Бюргерса . Таким образом, числа кристаллических плоскостей на внешней (растяжения) поверхности и внутренней (сжатия) поверхности равны и , соответственно. Поэтому вводится понятие геометрически необходимых дислокаций, согласно которому краевые дислокации одного знака компенсируют разницу в числе атомных плоскостей между поверхностями. Плотность геометрически необходимых дислокаций есть эта разница, деленная на площадь поверхности кристалла${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$${\displaystyle (l+dl)/b}$${\displaystyle (l-dl)/b}$${\displaystyle \rho _{g}}$

${\displaystyle \rho _{g}={\frac {(l+dl)/b-(l-dl)/b}{lt}}=2{\frac {dl}{ltb}}={\frac {1}{rb}}={\frac {strain\ gradient}{b}}}$.

Точнее, при расчете плотности геометрически необходимых дислокаций следует учитывать ориентацию плоскости скольжения и направление относительно изгиба. В частном случае, когда нормали плоскости скольжения параллельны оси изгиба, а направления скольжения перпендикулярны этой оси, в процессе изгиба вместо геометрически необходимой дислокации происходит обычное скольжение дислокации. Таким образом, в выражение для плотности геометрически необходимых дислокаций входит константа порядка единицы${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \rho _{g}=\alpha {\frac {strain\ gradient}{b}}}$.

Между соседними зернами поликристаллического материала геометрически необходимые дислокации могут обеспечить совместимость смещения, приспосабливаясь к градиенту деформации каждого кристалла. Эмпирически можно сделать вывод, что такие области дислокаций существуют, поскольку кристаллиты в поликристаллическом материале не имеют пустот или перекрывающихся сегментов между ними. В такой системе плотность геометрически необходимых дислокаций можно оценить, рассмотрев среднее зерно. Перекрытие между двумя соседними зернами пропорционально , ​​где - средняя деформация, а - диаметр зерна. Смещение пропорционально умноженному на длину калибра, которая принимается как для поликристалла. Это, деленное на вектор Бюргерса , b , дает количество дислокаций, а деление на площадь ( ) дает плотность${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}d}$${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle dl}$${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \cong d^{2}}$

${\displaystyle \rho _{g}\cong {\frac {\overline {\varepsilon }}{bd}}}$

который, с учетом дальнейших геометрических соображений, может быть уточнен до

${\displaystyle \rho _{g}={\frac {\overline {\varepsilon }}{4bd}}}$. ^[2]

Най ввел набор тензоров (так называемый тензор Найя) для расчета геометрически необходимой плотности дислокаций. ^[4]

Для трехмерных дислокаций в кристалле, рассматривая область, где эффекты дислокаций усредняются (т.е. кристалл достаточно большой). Дислокации могут быть определены векторами Бюргерса . Если контур Бюргерса единичной площади, нормальный единичному вектору, имеет вектор Бюргерса${\displaystyle l_{j}}$ ${\displaystyle B_{i}}$

${\displaystyle B_{i}=\alpha _{ij}l_{j}}$( )${\displaystyle i,j=1,2,3}$

где коэффициент — тензор Ная, связывающий единичный вектор и вектор Бюргерса . Этот тензор второго ранга определяет дислокационное состояние особой области.${\displaystyle \alpha _{ij}}$${\displaystyle l_{j}}$ ${\displaystyle B_{i}}$

Предположим , , где — единичный вектор, параллельный дислокациям, а — вектор Бюргерса, n — число дислокаций, пересекающих единичную площадь по нормали к . Таким образом, . Общее значение — это сумма всех различных значений . Предположим, что тензор второго ранга описывает кривизну решетки, , где — малые повороты решетки вокруг трех осей, а — вектор смещения. Можно доказать, что где для , и для .${\displaystyle B_{i}=b_{i}(nr_{j}l_{j})}$${\displaystyle r}$${\displaystyle b}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \alpha _{ij}=nb_{i}r_{j}}$${\displaystyle \alpha _{ij}}$${\displaystyle nb_{i}r_{j}}$${\displaystyle k_{ij}}$${\displaystyle d\phi _{i}=k_{ij}dx_{j}}$${\displaystyle d\phi _{i}}$${\displaystyle dx_{j}}$${\displaystyle k_{ij}=\alpha _{ji}-{\tfrac {1}{2}}\delta _{ij}\alpha _{kk}}$${\displaystyle \delta _{ij}=1}$${\displaystyle i=j}$${\displaystyle \delta _{ij}=0}$${\displaystyle i\neq j}$

Уравнение равновесия дает . Так как , таким образом . Подставляя вместо , . Вследствие того, что нулевое решение уравнений с равно нулю, а симметрия и , из всех двадцати семи возможных перестановок остается только девять независимых уравнений . Тензор Ная можно определить с помощью этих девяти дифференциальных уравнений.${\displaystyle {\frac {\partial \alpha _{ij}}{\partial x_{j}}}=0}$${\displaystyle k_{ij}={\frac {\partial \phi {i}}{\partial x_{j}}}}$${\displaystyle {\frac {\partial k_{ij}}{\partial x_{k}}}={\partial ^{2} \over \partial x_{j}\partial x_{k}}\phi _{i}={\frac {\partial k_{ik}}{\partial x_{j}}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\frac {\partial \alpha _{ji}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial \alpha _{ki}}{\partial x_{j}}}={\frac {1}{2}}(\delta _{ij}{\frac {\partial \alpha _{ll}}{\partial x_{k}}}-\delta _{ik}{\frac {\partial \alpha _{ll}}{\partial x_{j}}})}$${\displaystyle j=k}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i,j,k}$${\displaystyle \alpha _{ij}}$

Таким образом, потенциал дислокации можно записать как , где .${\displaystyle W={\tfrac {1}{2}}\alpha _{ij}k_{ij}}$${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial k_{ij}}}={\frac {1}{2}}\alpha _{ij}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \alpha _{kl}}{\partial k_{ij}}}k_{kl}={\frac {1}{2}}\alpha _{ij}+{\frac {1}{2}}k_{ji}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}k_{kk}=\alpha _{ij}}$

Испытание на одноосное растяжение в основном проводилось для получения соотношений напряжение-деформация и связанных с ними механических свойств объемных образцов. Однако существует дополнительное накопление дефектов, связанных с неоднородной пластической деформацией в геометрически необходимых дислокациях, и обычного макроскопического испытания, например, испытания на одноосное растяжение, недостаточно для того, чтобы уловить эффекты таких дефектов, например, градиент пластической деформации. Кроме того, геометрически необходимые дислокации находятся в микронном масштабе, тогда как обычное испытание на изгиб, проведенное в миллиметровом масштабе, не может обнаружить эти дислокации. ^[5]

Только после изобретения Адамсом и др. ^[6] в 1997 году пространственно и углово разрешенных методов измерения искажения решетки с помощью дифракции обратно рассеянных электронов экспериментальные измерения геометрически необходимых дислокаций стали возможными. Например, Сан и др. ^[7] в 2000 году изучали картину кривизны решетки вблизи интерфейса деформированных алюминиевых бикристаллов с использованием микроскопии ориентационной визуализации на основе дифракции. Таким образом, наблюдение геометрически необходимых дислокаций было реализовано с использованием данных о кривизне.

Но из-за экспериментальных ограничений плотность геометрически необходимой дислокации для общего деформированного состояния было трудно измерить, пока в 2010 году Кисар и др. ^{[8] не предложили метод нижней границы. Они изучали клиновое вдавливание с углом в 90 градусов в один кристалл никеля (а позже Дальберг и др. [9]} также получили углы в 60 и 120 градусов ). Сравнивая ориентацию кристаллической решетки в последеформированной конфигурации с недеформированным однородным образцом, они смогли определить поворот решетки в плоскости и обнаружили, что он на порядок больше поворотов решетки вне плоскости, тем самым демонстрируя предположение о плоской деформации.

Тензор плотности дислокаций Ная ^[4] имеет только два ненулевых компонента из-за двумерного деформационного состояния, и они могут быть получены из измерений вращения решетки. Поскольку линейная связь между двумя компонентами тензора Ная и плотностями геометрически необходимых дислокаций обычно недоопределена, общая плотность геометрически необходимых дислокаций минимизируется в зависимости от этой связи. Это решение нижней границы представляет собой минимальную геометрически необходимую плотность дислокаций в деформированном кристалле, согласующуюся с измеренной геометрией решетки. А в областях, где известно, что активны только одна или две эффективные системы скольжения, решение нижней границы сводится к точному решению для геометрически необходимых плотностей дислокаций.

Поскольку в дополнение к плотности статистически сохраненных дислокаций , увеличение плотности дислокаций из-за размещенных поликристаллов приводит к эффекту размера зерна во время деформационного упрочнения ; то есть поликристаллы с более мелким размером зерна будут иметь тенденцию к более быстрому упрочнению. ^[2]${\displaystyle \rho _{g}}$${\displaystyle \rho _{s}}$

Геометрически необходимые дислокации могут обеспечить упрочнение, где в разных случаях существуют два механизма. Первый механизм обеспечивает макроскопическое изотропное упрочнение посредством локального взаимодействия дислокаций, например, образование выступов, когда существующая геометрически необходимая дислокация прорезается движущейся дислокацией. Второй механизм — кинематическое упрочнение посредством накопления дальнодействующих обратных напряжений. ^[10]

Геометрически необходимые дислокации могут понижать свою свободную энергию, накладываясь друг на друга (см. формулу Пича-Кёлера для напряжений дислокация-дислокация) и образовывать малоугловые наклонные границы . Это движение часто требует, чтобы дислокации поднимались на разные плоскости скольжения, поэтому часто необходим отжиг при повышенной температуре. Результатом является дуга, которая трансформируется из непрерывно изогнутой в дискретно изогнутую с перегибами на малоугловых наклонных границах. ^[1]