В теории вероятностей и статистике геометрическое стандартное отклонение ( GSD ) описывает, насколько разбросаны наборы чисел, предпочтительным средним которых является геометрическое среднее . Для таких данных оно может быть предпочтительнее более обычного стандартного отклонения . Обратите внимание, что в отличие от обычного арифметического стандартного отклонения, геометрическое стандартное отклонение является мультипликативным множителем и, таким образом, является безразмерным , а не имеет ту же размерность , что и входные значения. Таким образом, геометрическое стандартное отклонение может быть более уместно называть геометрическим фактором SD . [1] [2] При использовании геометрического фактора SD в сочетании со средним геометрическим его следует описывать как «диапазон от (среднего геометрического, деленного на геометрический фактор SD) до (среднего геометрического, умноженного на геометрический фактор SD), и нельзя прибавлять/вычитать «геометрический фактор SD» к/из среднего геометрического. [3]
Если геометрическое среднее набора чисел обозначается как , то геометрическое стандартное отклонение равно
Если геометрическое среднее равно
затем натуральный логарифм обеих сторон дает
Логарифм произведения представляет собой сумму логарифмов (предполагая , что положительна для всех ), поэтому
Теперь видно, что — это среднее арифметическое набора , поэтому арифметическое стандартное отклонение этого же набора должно быть равно
Это упрощает
Геометрическая версия стандартной оценки :
Если известны геометрическое среднее, стандартное отклонение и z-оценка данных, то исходную оценку можно реконструировать с помощью
Геометрическое стандартное отклонение используется в качестве меры логарифмически нормальной дисперсии аналогично геометрическому среднему. [3] Поскольку логарифмическое преобразование логарифмически нормального распределения приводит к нормальному распределению, мы видим, что геометрическое стандартное отклонение представляет собой экспоненциальное значение стандартного отклонения логарифмически преобразованных значений, т. е . .
Таким образом, геометрическое среднее и геометрическое стандартное отклонение выборки данных из логнормально распределенной популяции могут использоваться для нахождения границ доверительных интервалов аналогично тому, как арифметическое среднее и стандартное отклонение используются для ограничения доверительных интервалов для нормального распределения. Подробности см. в обсуждении логнормального распределения .