Геометрическое стандартное отклонение

Статистическая мера

В теории вероятностей и статистике геометрическое стандартное отклонение ( GSD ) описывает, насколько разбросаны наборы чисел, предпочтительным средним которых является геометрическое среднее . Для таких данных оно может быть предпочтительнее более обычного стандартного отклонения . Обратите внимание, что в отличие от обычного арифметического стандартного отклонения, геометрическое стандартное отклонение является мультипликативным множителем и, таким образом, является безразмерным , а не имеет ту же размерность , что и входные значения. Таким образом, геометрическое стандартное отклонение может быть более уместно называть геометрическим фактором SD . [1] [2] При использовании геометрического фактора SD в сочетании со средним геометрическим его следует описывать как «диапазон от (среднего геометрического, деленного на геометрический фактор SD) до (среднего геометрического, умноженного на геометрический фактор SD), и нельзя прибавлять/вычитать «геометрический фактор SD» к/из среднего геометрического. [3]

Определение

Если геометрическое среднее набора чисел обозначается как , то геометрическое стандартное отклонение равно А 1 , А 2 , . . . , А н {\textstyle {A_{1},A_{2},...,A_{n}}} μ г {\textstyle \mu _{\mathrm {г} }}

σ г = опыт 1 н я = 1 н ( вн А я μ г ) 2 . {\displaystyle \sigma _{\mathrm {g} }=\exp {\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {A_{i} \over \mu _{\mathrm {g} }}\right)^{2}}}\,.}

Вывод

Если геометрическое среднее равно

μ г = А 1 А 2 А н н {\displaystyle \mu _{\mathrm {g} }={\sqrt[{n}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}}}

затем натуральный логарифм обеих сторон дает

вн μ г = 1 н вн ( А 1 А 2 А н ) . {\displaystyle \ln \mu _{\mathrm {g} }={1 \over n}\ln(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}).}

Логарифм произведения представляет собой сумму логарифмов (предполагая , что положительна для всех ), поэтому А я {\textstyle А_{я}} я {\textstyle я}

вн μ г = 1 н [ вн А 1 + вн А 2 + + вн А н ] . {\displaystyle \ln \mu _{\mathrm {g} }={1 \over n}\left[\ln A_{1}+\ln A_{2}+\cdots +\ln A_{n}\right].}

Теперь видно, что — это среднее арифметическое набора , поэтому арифметическое стандартное отклонение этого же набора должно быть равно вн μ г {\displaystyle \ln \mu _ {\ mathrm {g} }} { вн А 1 , вн А 2 , , вн А н } {\displaystyle \{\ln A_{1},\ln A_{2},\точки,\ln A_{n}\}}

вн σ г = 1 н я = 1 н ( вн А я вн μ г ) 2 . {\displaystyle \ln \sigma _ {\mathrm {g} }={\sqrt {{1 \over n} \sum _{i = 1}^{n}(\ln A_{i}-\ln \mu _ {\ mathrm {g} }) ^ {2}}} \,.}

Это упрощает

σ г = опыт 1 н я = 1 н ( вн А я μ г ) 2 . {\displaystyle \sigma _{\mathrm {g} }=\exp {\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {A_{i} \over \mu _{\mathrm {g} }}\right)^{2}}}\,.}

Геометрический стандартный балл

Геометрическая версия стандартной оценки :

з = вн х вн μ г вн σ г = бревно σ г ( х μ г ) . {\displaystyle z={{\ln x-\ln \mu _ {\ mathrm {g} }} \over \ln \sigma _ {\ mathrm {g} }} = \ log _ {\ sigma _ {\ mathrm {g} }}\left({x \over \mu _{\mathrm {g} }}\right).}

Если известны геометрическое среднее, стандартное отклонение и z-оценка данных, то исходную оценку можно реконструировать с помощью

х = μ г σ г з . {\displaystyle x=\mu _{\mathrm {g} {\sigma _{\mathrm {g} }}^{z}.}

Связь с логнормальным распределением

Геометрическое стандартное отклонение используется в качестве меры логарифмически нормальной дисперсии аналогично геометрическому среднему. [3] Поскольку логарифмическое преобразование логарифмически нормального распределения приводит к нормальному распределению, мы видим, что геометрическое стандартное отклонение представляет собой экспоненциальное значение стандартного отклонения логарифмически преобразованных значений, т. е . . σ г = опыт ( stdev ( вн А ) ) {\displaystyle \sigma _{\mathrm {g} }=\exp(\operatorname {stdev} (\ln A))}

Таким образом, геометрическое среднее и геометрическое стандартное отклонение выборки данных из логнормально распределенной популяции могут использоваться для нахождения границ доверительных интервалов аналогично тому, как арифметическое среднее и стандартное отклонение используются для ограничения доверительных интервалов для нормального распределения. Подробности см. в обсуждении логнормального распределения .

Ссылки

  1. ^ Руководство по GraphPad
  2. ^ Кирквуд, TBL (1993). «Геометрическое стандартное отклонение — ответ Бохидару». Drug Dev. Ind. Pharmacy 19(3): 395-6.
  3. ^ ab Kirkwood, TBL (1979). «Геометрические средние и меры дисперсии». Биометрия . 35 : 908–9 . JSTOR  2530139.
  • Сайт неньютоновского исчисления
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometric_standard_deviation&oldid=1217990266"