Геометрическое–гармоническое среднее

В математике геометрическое –гармоническое среднее M( x , y ) двух положительных действительных чисел x и y определяется следующим образом: мы формируем геометрическое среднее g 0 = x и h 0 = y и называем его g 1 , т. е. g 1 является квадратным корнем xy . Мы также формируем гармоническое среднее x и y и называем его h 1 , т. е. h 1 является обратной величиной среднего арифметического обратных величин x и y . Это можно делать последовательно ( в любом порядке) или одновременно.

Теперь мы можем повторить эту операцию, заменив x на g 1 и y на h 1. Таким образом, определяются две взаимозависимые последовательности ( g n ) и ( h n ):

г н + 1 = г н час н {\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}h_{n}}}}

и

час н + 1 = 2 г н час н г н + час н {\displaystyle h_{n+1}={\frac {2{g_{n}}{h_{n}}}{g_{n}+h_{n}}}}

Обе эти последовательности сходятся к одному и тому же числу, которое мы называем геометрически-гармоническим средним M( x ,  y ) x и  y . Геометрически-гармоническое среднее также обозначается как гармонически-геометрическое среднее . (см. Wolfram MathWorld ниже.)

Существование предела можно доказать с помощью теоремы Больцано–Вейерштрасса способом, почти идентичным доказательству существования среднего арифметико-геометрического .

Характеристики

M( x ,  y ) — число между геометрическим и гармоническим средним x и y ; в частности, оно находится между x и y . M( x ,  y ) также однородно , т.е. если r  > 0, то M( rx ,  ry ) =  r M( x ,  y ).

Если AG( x , y ) — среднее арифметическое–геометрическое , то мы также имеем

М ( х , у ) = 1 А Г ( 1 х , 1 у ) {\displaystyle M(x,y)={\frac {1}{AG({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}})}}}

Неравенства

Имеем следующее неравенство, включающее пифагорейские средние { H ,  G ,  A } и повторные пифагорейские средние { HG ,  HA ,  GA }:

мин ( х , у ) ≤ ЧАС ( х , у ) ≤ ЧАС Г ( х , у ) ≤ Г ( х , у ) ≤ Г А ( х , у ) ≤ А ( х , у ) ≤ макс ( х , у ) {\displaystyle \min(x,y)\leq H(x,y)\leq HG(x,y)\leq G(x,y)\leq GA(x,y)\leq A(x,y)\leq \max(x,y)}

где итерированные пифагорейские средние были идентифицированы с их частями { H ,  G ,  A } в прогрессирующем порядке:

  • H ( x ,  y ) — среднее гармоническое,
  • HG ( x ,  y ) — гармонически-геометрическое среднее,
  • G ( x ,  y ) =  HA ( x ,  y ) — среднее геометрическое (которое также является средним арифметическим гармоническим),
  • GA ( x ,  y ) — среднее геометрическое–арифметическое,
  • A ( x ,  y ) — среднее арифметическое.

Смотрите также

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Геометрическое–гармоническое_среднее&oldid=1259680739"