Геодезическая карта

В математике — в частности, в дифференциальной геометрии — геодезическое отображение (или геодезическое отображение или геодезический диффеоморфизм ) — это функция , которая «сохраняет геодезические ». Точнее, если заданы два ( псевдо- ) римановых многообразия ( M ,  g ) и ( N ,  h ), функция φ  :  M  →  N называется геодезическим отображением, если

• φ — диффеоморфизм M на N ; и
• изображение под φ любой геодезической дуги в M является геодезической дугой в N ; и
• изображение под действием обратной функции φ ⁻¹ любой геодезической дуги в N является геодезической дугой в M.

• Если ( M ,  g ) и ( ^N , h  ) являются n - мерными евклидовыми пространствами En с их обычной плоской метрикой ^, то любая евклидова изометрия является геодезическим отображением En на себя.
• Аналогично, если ( M ,  g ) и ( N ,  h ) являются n -мерной единичной сферой S ⁿ с ее обычной круглой метрикой, то любая изометрия сферы является геодезическим отображением S ⁿ на себя.
• Если ( M ,  g ) — единичная сфера S ⁿ с ее обычной круглой метрикой, а ( N ,  h ) — сфера радиуса 2 с ее обычной круглой метрикой, обе рассматриваемые как подмножества окружающего координатного пространства R ^{n +1} , то отображение «расширения» φ  :  R ^{n +1}  →  R ^{n +1,} заданное формулой φ ( x ) = 2 x, индуцирует геодезическое отображение M на N .
• Не существует геодезического отображения из евклидова пространства E ⁿ на единичную сферу S ⁿ , поскольку они не являются гомеоморфными , не говоря уже о диффеоморфных.
• Гномоническая проекция полушария на плоскость является геодезической картой, поскольку она переводит большие окружности в прямые, а ее обратная проекция переводит прямые в большие окружности.
• Пусть ( D ,  g ) — единичный круг D  ⊂  R2 ^, снабженный евклидовой метрикой, и пусть ( D ,  h ) — тот же круг, снабженный гиперболической метрикой, как в модели круга Пуанкаре гиперболической геометрии. Тогда, хотя эти две структуры диффеоморфны посредством тождественного отображения i  :  D  →  D , i не является геодезическим отображением, поскольку g -геодезические всегда являются прямыми линиями в R2 , тогда как h - ^{геодезические} могут быть искривленными.
• С другой стороны, когда гиперболическая метрика на D задана моделью Клейна , тождество i  :  D  →  D является геодезическим отображением, поскольку гиперболические геодезические в модели Клейна являются (евклидовыми) отрезками прямых линий.

• Амбарцумян, Р. В. (1982). Комбинаторная интегральная геометрия . Серия Wiley по вероятности и математической статистике: трактаты по вероятности и статистике. Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc. стр. xvii+221. ISBN 0-471-27977-3. МР  0679133.
• Крейсциг, Эрвин (1991). Дифференциальная геометрия . Нью-Йорк: Dover Publications Inc. стр. xiv+352. ISBN 0-486-66721-9. МР  1118149.

• Вайсштейн, Эрик В. "Геодезическое картографирование". MathWorld .