Общий ряд Дирихле

В области математического анализа общий ряд Дирихле — это бесконечный ряд , который принимает форму

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},}$

где , — комплексные числа , а — строго возрастающая последовательность неотрицательных действительных чисел , стремящаяся к бесконечности.${\displaystyle а_{н}}$${\displaystyle с}$${\displaystyle \{\lambda _{n}\}}$

Простое наблюдение показывает, что «обычный» ряд Дирихле

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$

получается путем подстановки в степенной ряд${\displaystyle \lambda _{n}=\ln n}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty } a_ {n} (e ^ {-s}) ^ {n},}$

получается, когда .${\displaystyle \лямбда _{n}=n}$

Если ряд Дирихле сходится в точке , то он равномерно сходится в области${\displaystyle s_{0}=\сигма _{0}+t_{0}i}$

${\displaystyle |\arg(s-s_{0})|\leq \theta <{\frac {\pi }{2}},}$

и сходится для любой точки .${\displaystyle s=\сигма +ti}$${\displaystyle \сигма >\сигма _{0}}$

Теперь есть три возможности относительно сходимости ряда Дирихле, т.е. он может сходиться для всех, ни для одного или для некоторых значений s . В последнем случае существует такое , что ряд сходится для и расходится для . По соглашению, если ряд нигде не сходится и если ряд сходится всюду на комплексной плоскости .${\displaystyle \сигма _{с}}$${\displaystyle \сигма >\сигма _{с}}$${\displaystyle \сигма <\сигма _{c}}$${\displaystyle \сигма _{c}=\infty }$${\displaystyle \сигма _{c}=-\infty }$

Абсциссу сходимости ряда Дирихле можно определить, как указано выше. Другое эквивалентное определение:${\displaystyle \сигма _{с}}$

${\displaystyle \sigma _{c}=\inf \left\{\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}{\text{ сходится для каждого }}s{\text{ для которого }}\operatorname {Re} (s)>\sigma \right\}.}$

Линия называется линией сходимости . Полуплоскость сходимости определяется как${\displaystyle \сигма =\сигма _{с}}$

${\displaystyle \mathbb {C} _{\sigma _{c}}=\{s\in \mathbb {C} :\operatorname {Re} (s)>\sigma _{c}\}.}$

Абсцисса , прямая и полуплоскость сходимости ряда Дирихле аналогичны радиусу , границе и кругу сходимости степенного ряда .

На линии сходимости вопрос о сходимости остается открытым, как и в случае степенных рядов. Однако если ряд Дирихле сходится и расходится в разных точках на одной и той же вертикальной прямой, то эта прямая должна быть линией сходимости. Доказательство подразумевается в определении абсциссы сходимости. Примером может служить ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}e^{-ns},}$

которая сходится в ( знаковый гармонический ряд ) и расходится в ( гармонический ряд ). Таким образом, это линия сходимости.${\displaystyle s=-\пи i}$${\displaystyle s=0}$${\displaystyle \сигма =0}$

Предположим, что ряд Дирихле не сходится при , тогда ясно, что и расходится. С другой стороны, если ряд Дирихле сходится при , то и сходится. Таким образом, есть две формулы для вычисления , в зависимости от сходимости которых можно определить с помощью различных тестов на сходимость . Эти формулы аналогичны теореме Коши–Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.${\displaystyle s=0}$${\displaystyle \sigma _{c}\geq 0}$${\displaystyle \sum a_{n}}$${\displaystyle s=0}$${\displaystyle \сигма _{c}\leq 0}$${\displaystyle \sum a_{n}}$${\displaystyle \сигма _{с}}$${\displaystyle \sum a_{n}}$

Если расходится, т.е. , то задается выражением${\displaystyle \sum a_{k}}$${\displaystyle \sigma _{c}\geq 0}$${\displaystyle \сигма _{с}}$

${\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}|}{\lambda _{n}}}.}$

Если сходится, т.е. , то задается выражением${\displaystyle \sum a_{k}}$${\displaystyle \сигма _{c}\leq 0}$${\displaystyle \сигма _{с}}$

${\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots |}{\lambda _{n}}}.}$

Ряд Дирихле абсолютно сходится, если ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}e^{-\lambda _{n}s}|,}$

сходится. Как обычно, абсолютно сходящийся ряд Дирихле сходится, но обратное не всегда верно.

Если ряд Дирихле абсолютно сходится при , то он абсолютно сходится для всех s, где . Ряд Дирихле может сходиться абсолютно для всех, ни для одного или для некоторых значений s . В последнем случае существуют такие , что ряд сходится абсолютно для и сходится неабсолютно для .${\displaystyle s_{0}}$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>\operatorname {Re} (s_{0})}$${\displaystyle \сигма _{а}}$${\displaystyle \сигма >\сигма _{а}}$${\displaystyle \сигма <\сигма _{а}}$

Абсциссу абсолютной сходимости можно определить, как указано выше, или, что эквивалентно, как${\displaystyle \сигма _{а}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{a}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ сходится абсолютно для}}\\&{\text{каждых }}s{\text{ для которых}}\operatorname {Re} (s)>\sigma {\Big \}}.\end{aligned}}}$

Аналогично можно определить линию и полуплоскость абсолютной сходимости . Также есть две формулы для вычисления .${\displaystyle \сигма _{а}}$

Если расходится, то задается выражением${\displaystyle \sum |a_{k}|}$${\displaystyle \сигма _{а}}$

${\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|)}{\lambda _{n}}}.}$

Если сходится, то задается выражением${\displaystyle \sum |a_{k}|}$${\displaystyle \сигма _{а}}$

${\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots )}{\lambda _{n}}}.}$

В общем случае абсцисса сходимости не совпадает с абсциссой абсолютной сходимости. Таким образом, между линией сходимости и абсолютной сходимостью может быть полоса, в которой ряд Дирихле сходится условно . Ширина этой полосы определяется как

${\displaystyle 0\leq \sigma _{a}-\sigma _{c}\leq L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log n}{\lambda _{n}}}.}$

В случае, когда L = 0, то

${\displaystyle \sigma _{c}=\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n}|}{\lambda _{n}}}.}$

Все приведенные до сих пор формулы остаются верными для «обычных» рядов Дирихле при замене .${\displaystyle \lambda _{n}=\log n}$

Можно рассмотреть и другие абсциссы сходимости ряда Дирихле. Абсцисса ограниченной сходимости определяется как${\displaystyle \sigma _{b}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{b}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ is bounded in the half-plane }}\operatorname {Re} (s)\geq \sigma {\Big \}},\end{aligned}}}$

в то время как абсцисса равномерной сходимости определяется выражением${\displaystyle \sigma _{u}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{u}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ converges uniformly in the half-plane }}\operatorname {Re} (s)\geq \sigma {\Big \}}.\end{aligned}}}$

Эти абсциссы связаны с абсциссой сходимости и абсолютной сходимости формулами${\displaystyle \sigma _{c}}$${\displaystyle \sigma _{a}}$

${\displaystyle \sigma _{c}\leq \sigma _{b}\leq \sigma _{u}\leq \sigma _{a}}$,

и замечательная теорема Бора фактически показывает, что для любого обычного ряда Дирихле, где (т.е. ряда Дирихле вида ), и ^[1] Боненблуст и Хилле впоследствии показали, что для каждого числа существуют ряды Дирихле , для которых ^[2]${\displaystyle \lambda _{n}=\ln(n)}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$${\displaystyle \sigma _{u}=\sigma _{b}}$${\displaystyle \sigma _{a}\leq \sigma _{u}+1/2;}$${\displaystyle d\in [0,0.5]}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$${\displaystyle \sigma _{a}-\sigma _{u}=d.}$

Формула для абсциссы равномерной сходимости для общего ряда Дирихле имеет следующий вид: для любого пусть , тогда ^[3]${\displaystyle \sigma _{u}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}$${\displaystyle N\geq 1}$${\displaystyle U_{N}=\sup _{t\in \mathbb {R} }\{|\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{it\lambda _{n}}|\}}$${\displaystyle \sigma _{u}=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {\log U_{N}}{\lambda _{N}}}.}$

Функция , представленная рядом Дирихле

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},}$

аналитична на полуплоскости сходимости. Более того, для${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$

${\displaystyle f^{(k)}(s)=(-1)^{k}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}s}.}$

Ряд Дирихле можно далее обобщить на случай многих переменных , где , k = 2, 3, 4,..., или на случай комплексных переменных , где , m = 1, 2, 3,...${\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {C} ^{m}}$

• GH Hardy и M. Riesz, Общая теория рядов Дирихле , Cambridge University Press, первое издание, 1915.
• EC Titchmarsh , Теория функций , Oxford University Press, второе издание, 1939.
• Том Апостол , Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Springer, второе издание, 1990.
• А.Ф. Леонтьев, Целые функции и ряды экспонент , Наука, первое издание, 1982.
• А.И. Маркушевич, Теория функций комплексного переменного (пер. с русского), Издательство «Челси», второе издание, 1977.
• Ж.-П. Серр , Курс арифметики , Springer-Verlag, пятое издание, 1973.
• Джон Э. Маккарти, Серия Дирихле , 2018.
• Х. Ф. Боненблуст и Эйнар Хилле, Об абсолютной сходимости рядов Дирихле , Анналы математики, вторая серия, т. 32, № 3 (июль 1931 г.), стр. 600-622.

• "Ряд Дирихле". PlanetMath .
• «Ряды Дирихле», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]