Гауссовский ров
В теории чисел проблема гауссовского рва спрашивает, возможно ли найти бесконечную последовательность различных гауссовых простых чисел, такую, что разница между последовательными числами в последовательности ограничена. Более красочно, если представить себе гауссовские простые числа как ступеньки в море комплексных чисел , вопрос заключается в том, можно ли пройти от начала координат до бесконечности шагами ограниченного размера, не промокнув. Проблема была впервые поставлена в 1962 году Бэзилом Гордоном (хотя ее иногда ошибочно приписывали Полу Эрдёшу ), и она остается нерешенной. [1]
С обычными простыми числами такая последовательность невозможна: теорема о простых числах подразумевает, что в последовательности простых чисел имеются произвольно большие пробелы , и существует также элементарное прямое доказательство: для любого n , n − 1 последовательных чисел n ! + 2, n ! + 3, ..., n ! + n являются составными. [1]
Задача поиска пути между двумя гауссовыми простыми числами, который минимизирует максимальный размер прыжка, является примером задачи минимаксного пути , а размер прыжка оптимального пути равен ширине самого широкого рва между двумя простыми числами, где ров может быть определен путем разбиения простых чисел на два подмножества, а его ширина — это расстояние между ближайшей парой, которая имеет один элемент в каждом подмножестве. Таким образом, задача гауссова рва может быть сформулирована в другой, но эквивалентной форме: существует ли конечная граница ширины рвов, которые имеют конечное число простых чисел на стороне начала координат? [1]
Вычислительные поиски показали, что начало координат отделено от бесконечности рвом шириной 6. [2] Известно, что для любого положительного числа k существуют гауссовские простые числа, ближайший сосед которых находится на расстоянии k или больше. Фактически, эти числа могут быть ограничены нахождением на действительной оси. Например, число 20785207 окружено рвом шириной 17. Таким образом, определенно существуют рвы произвольно большой ширины, но эти рвы не обязательно отделяют начало координат от бесконечности. [1]
Ссылки
- ^ abcd Гетнер, Эллен; Вагон, Стэн ; Вик, Брайан (1998), «Прогулка по простым числам Гаусса», The American Mathematical Monthly , 105 (4): 327–337, doi :10.2307/2589708, JSTOR 2589708, MR 1614871, Zbl 0946.11002
- ^ Цучимура, Нобуюки (2005), «Результаты вычислений для задачи о гауссовском рве», IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences , 88 (5): 1267–1273, Bibcode : 2005IEITF..88.1267T, doi : 10.1093/ietfec/e88-a.5.1267.
Дальнейшее чтение
- Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag , стр. 55–57, ISBN 978-0-387-20860-2, Збл 1058.11001
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Проблема переправы через ров». Математический мир .
