Метод Гаусса–Зейделя

В числовой линейной алгебре метод Гаусса –Зейделя , также известный как метод Либмана или метод последовательного смещения , является итеративным методом, используемым для решения системы линейных уравнений . Он назван в честь немецких математиков Карла Фридриха Гаусса и Филиппа Людвига фон Зейделя . Хотя его можно применять к любой матрице с ненулевыми элементами на диагоналях, сходимость гарантируется только в том случае, если матрица либо строго диагонально доминирующая , ^[1] либо симметричная и положительно определенная . Он был упомянут только в частном письме Гаусса своему ученику Герлингу в 1823 году. ^[2] Публикация не была представлена ​​до 1874 года Зейделем. ^[3]

Пусть будет квадратной системой из n линейных уравнений, где:${\textstyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} }$

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Когда и известны, а неизвестно, метод Гаусса–Зейделя может быть использован для итеративного приближения . Вектор обозначает начальное предположение для , часто для . Обозначим через -ое приближение или итерацию , а через приближение на следующей (или -ой) итерации.${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {б} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} _{i}^{(0)}=0}$${\displaystyle я=1,2,...,n}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}}$${\displaystyle к}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle к+1}$

Решение получается итеративно с помощью разложения матрицы на нижний треугольный компонент и строго верхний треугольный компонент , такой что . ^[4] Более конкретно, разложение на и задается формулой:$${\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {x} ^{(k+1)} = \mathbf {b} -\mathbf {U} \mathbf {x} ^{(k)},}$$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {L} +\mathbf {U} }$${\displaystyle А}$${\displaystyle L_{*}}$${\displaystyle U}$

$${\displaystyle \mathbf {A} =\underbrace {\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\a_{21}&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}} _{\textstyle \mathbf {L} }+\underbrace {\begin{bmatrix}0&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}} _{\textstyle \mathbf {U} }.}$$

Систему линейных уравнений можно переписать как:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {A} \mathbf {x} &=\mathbf {b} \\(\mathbf {L} +\mathbf {U} )\mathbf {x} &=\mathbf {b} \\\mathbf {L} \mathbf {x} +\mathbf {U} \mathbf {x} &=\mathbf {b} \\\mathbf {L} \mathbf {x} &=\mathbf {b} -\mathbf {U} \mathbf {x} \end{alignedat}}}$

Метод Гаусса–Зейделя теперь решает левую часть этого выражения для , используя предыдущее значение для в правой части. Аналитически это можно записать как${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$$${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {L} ^{-1}\left(\mathbf {b} -\mathbf {U} \mathbf {x} ^{(k)}\right).}$$

Однако, используя преимущество треугольной формы , элементы можно вычислить последовательно для каждой строки, используя прямую подстановку : ^[5]${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}}$${\displaystyle i}$$${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}={\frac {1}{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum _{j=i+1}^{n}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right),\quad i=1,2,\dots ,n.}$$

Обратите внимание, что формула использует два суммирования на итерацию, которые можно выразить как одно суммирование , использующее последнюю вычисленную итерацию . Процедура обычно продолжается до тех пор, пока изменения, внесенные итерацией, не станут ниже некоторого допуска, например, достаточно малого остатка .${\displaystyle \sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}}$${\displaystyle x_{j}}$

Поэлементная формула для метода Гаусса–Зейделя похожа на формулу (итеративного) метода Якоби , но с важным отличием:

В методе Гаусса-Зейделя вычисление использует элементы , которые уже были вычислены, и только элементы , которые не были вычислены в -й итерации. Это означает, что, в отличие от метода Якоби, требуется только один вектор хранения, поскольку элементы могут быть перезаписаны по мере их вычисления, что может быть выгодно для очень больших задач.${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}}$${\displaystyle (k+1)}$

Однако, в отличие от метода Якоби, вычисления для каждого элемента, как правило, гораздо сложнее реализовать параллельно , поскольку они могут иметь очень длинный критический путь , и, таким образом, наиболее осуществимы для разреженных матриц . Кроме того, значения на каждой итерации зависят от порядка исходных уравнений.

Гаусс-Зейдель — это то же самое, что и последовательная сверхрелаксация с .${\displaystyle \omega =1}$

Свойства сходимости метода Гаусса–Зейделя зависят от матрицы . А именно, известно, что процедура сходится, если:${\displaystyle \mathbf {A} }$

• ${\displaystyle \mathbf {A} }$симметричен и положительно определен , ^[6] или
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$является строго или нередуцируемо диагонально доминирующим . ^[7]

Метод Гаусса–Зейделя может сходиться, даже если эти условия не выполняются.

Голуб и Ван Лоан приводят теорему для алгоритма, который разбивается на две части. Предположим, что является невырожденным. Пусть будет спектральным радиусом . Тогда итерации, определенные с помощью , сходятся к для любого начального вектора, если является невырожденным и . ^[8]${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {M} -\mathbf {N} }$${\displaystyle r=\rho (\mathbf {M} ^{-1}\mathbf {N} )}$${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}\mathbf {N} }$${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}}$${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {N} \mathbf {x} ^{(k)}+\mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}}$${\displaystyle \mathbf {M} }$${\displaystyle r<1}$

Поскольку элементы могут быть перезаписаны по мере их вычисления в этом алгоритме, требуется только один вектор хранения, а индексация векторов опускается. Алгоритм выглядит следующим образом:

Алгоритм метода Гаусса–Зейделя : входы  :  A , b  , выход:  φ Выбрать начальное предположение φ для решения  повторить до сходимости для  i  от 1 до  n  сделать  σ ← 0  для  j  от 1 до  n  сделать  если  j ≠ i  то  σ ← σ + a ij φ j  конец если  конец ( j -цикл) φ i ← ( b i − σ ) / a ii  конец ( i -цикл) проверить, достигнута ли сходимость конец (повторить)

Линейная система, показанная как, задается формулой:${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} }$$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}16&3\\7&-11\\\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}11\\13\end{bmatrix}}.}$$

Используйте уравнение в форме, где:$${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {L} ^{-1}(\mathbf {b} -\mathbf {U} \mathbf {x} ^{(k)})}$$$${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {T} \mathbf {x} ^{(k)}+\mathbf {c} }$$

${\displaystyle \mathbf {T} =-\mathbf {L} ^{-1}\mathbf {U} \quad {\text{and}}\quad \mathbf {c} =\mathbf {L} ^{-1}\mathbf {b} .}$

Разложим на сумму нижней треугольной компоненты и строгой верхней треугольной компоненты :${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle U}$$${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}16&0\\7&-11\\\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}0&3\\0&0\end{bmatrix}}.}$$

Обратное значение :${\displaystyle \mathbf {L} }$$${\displaystyle \mathbf {L} ^{-1}={\begin{bmatrix}16&0\\7&-11\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}0.0625&0.0000\\0.0398&-0.0909\\\end{bmatrix}}.}$$

Теперь найдите:$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} &=-{\begin{bmatrix}0.0625&0.0000\\0.0398&-0.0909\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&3\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1194\end{bmatrix}},\\[1ex]\mathbf {c} &={\begin{bmatrix}0.0625&0.0000\\0.0398&-0.0909\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}11\\13\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7439\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

С помощью и векторы можно получить итеративно.${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$

Прежде всего, выберите , например Чем ближе догадка к окончательному решению, тем меньше итераций потребуется алгоритму.${\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}}$$${\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}={\begin{bmatrix}1.0\\1.0\end{bmatrix}}.}$$

Затем рассчитайте:$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} ^{(1)}&={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1.0\\1.0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.5000\\-0.8636\end{bmatrix}}.\\[1ex]\mathbf {x} ^{(2)}&={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0.5000\\-0.8636\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8494\\-0.6413\end{bmatrix}}.\\[1ex]\mathbf {x} ^{(3)}&={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0.8494\\-0.6413\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8077\\-0.6678\end{bmatrix}}.\\[1ex]\mathbf {x} ^{(4)}&={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0.8077\\-0.6678\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8127\\-0.6646\end{bmatrix}}.\\[1ex]\mathbf {x} ^{(5)}&={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0.8127\\-0.6646\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8121\\-0.6650\end{bmatrix}}.\\[1ex]\mathbf {x} ^{(6)}&={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0.8121\\-0.6650\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}.\\[1ex]\mathbf {x} ^{(7)}&={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Как и ожидалось, алгоритм сходится к решению: .$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} \approx {\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}}$$

На самом деле матрица A строго диагонально доминирующая, но не положительно определенная.

Другая линейная система, показанная как, имеет вид:${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} }$

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}2&3\\5&7\\\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}11\\13\\\end{bmatrix}}.}$$

Используйте уравнение в форме, где:$${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {L} ^{-1}(\mathbf {b} -\mathbf {U} \mathbf {x} ^{(k)})}$$$${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {T} \mathbf {x} ^{(k)}+\mathbf {c} }$$

${\displaystyle \mathbf {T} =-\mathbf {L} ^{-1}\mathbf {U} \quad {\text{and}}\quad \mathbf {c} =\mathbf {L} ^{-1}\mathbf {b} .}$

Разложим на сумму нижней треугольной компоненты и строгой верхней треугольной компоненты :${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {U} }$$${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}2&0\\5&7\\\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}0&3\\0&0\\\end{bmatrix}}.}$$

Обратное значение :${\displaystyle \mathbf {L} }$$${\displaystyle \mathbf {L} ^{-1}={\begin{bmatrix}2&0\\5&7\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}0.500&0.000\\-0.357&0.143\\\end{bmatrix}}.}$$

Теперь найдите:$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} &=-{\begin{bmatrix}0.500&0.000\\-0.357&0.143\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&3\\0&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.000&-1.500\\0.000&1.071\\\end{bmatrix}},\\[1ex]\mathbf {c} &={\begin{bmatrix}0.500&0.000\\-0.357&0.143\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}11\\13\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5.500\\-2.071\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

С помощью и векторы можно получить итеративно.${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$

Прежде всего, нам нужно выбрать , например${\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}}$$${\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}={\begin{bmatrix}1.1\\2.3\end{bmatrix}}}$$

Затем рассчитайте:$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} ^{(1)}&={\begin{bmatrix}0&-1.500\\0&1.071\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1.1\\2.3\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}5.500\\-2.071\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2.050\\0.393\\\end{bmatrix}}.\\[1ex]\mathbf {x} ^{(2)}&={\begin{bmatrix}0&-1.500\\0&1.071\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2.050\\0.393\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}5.500\\-2.071\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4.911\\-1.651\end{bmatrix}}.\\[1ex]\mathbf {x} ^{(3)}&=\cdots .\end{aligned}}}$$

В тесте на сходимость мы обнаруживаем, что алгоритм расходится. Фактически, матрица не является ни диагонально доминирующей, ни положительно определенной. Тогда сходимость к точному решению не гарантируется и, в этом случае, не произойдет.${\displaystyle \mathbf {A} }$$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}-38\\29\end{bmatrix}}}$$

Предположим, что даны уравнения и начальная точка . На любом шаге итерации Гаусса-Зейделя решите первое уравнение для в терминах ; затем решите второе уравнение для в терминах только что найденного и оставшегося ; и продолжите до . Затем повторяйте итерации до тех пор, пока не будет достигнута сходимость, или прервитесь, если расхождение в решениях начнет выходить за пределы предопределенного уровня.${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{3},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$

Рассмотрим пример:$${\displaystyle {\begin{array}{rrrrl}10x_{1}&-x_{2}&+2x_{3}&&=6,\\-x_{1}&+11x_{2}&-x_{3}&+3x_{4}&=25,\\2x_{1}&-x_{2}&+10x_{3}&-x_{4}&=-11,\\&3x_{2}&-x_{3}&+8x_{4}&=15.\end{array}}}$$

Решая и получаем:${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle x_{4}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=x_{2}/10-x_{3}/5+3/5,\\x_{2}&=x_{1}/11+x_{3}/11-3x_{4}/11+25/11,\\x_{3}&=-x_{1}/5+x_{2}/10+x_{4}/10-11/10,\\x_{4}&=-3x_{2}/8+x_{3}/8+15/8.\end{aligned}}}$$

Предположим, что (0, 0, 0, 0) — начальное приближение, тогда первое приближенное решение имеет вид:$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=3/5=0.6,\\x_{2}&=(3/5)/11+25/11=3/55+25/11=2.3272,\\x_{3}&=-(3/5)/5+(2.3272)/10-11/10=-3/25+0.23272-1.1=-0.9873,\\x_{4}&=-3(2.3272)/8+(-0.9873)/8+15/8=0.8789.\end{aligned}}}$$

Используя полученные приближения, итерационная процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнута желаемая точность. Ниже приведены приближенные решения после четырех итераций.

${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}}$	${\displaystyle x_{3}}$	${\displaystyle x_{4}}$
0,6	2.32727	−0,987273	0,878864
1.03018	2.03694	−1,01446	0,984341
1.00659	2.00356	−1,00253	0,998351
1.00086	2.0003	−1,00031	0,99985

Точное решение системы: (1, 2, −1, 1) .

Следующая итерационная процедура создает вектор решения линейной системы уравнений:

импортировать  numpy  как  npПРЕДЕЛ_ИТЕРАЦИИ  =  1000# инициализируем матрицу A  =  np . array (  [  [ 10.0 ,  - 1.0 ,  2.0 ,  0.0 ],  [ - 1.0 ,  11.0 ,  - 1.0 ,  3.0 ],  [ 2.0 ,  - 1.0 ,  10.0 ,  - 1.0 ],  [ 0.0 ,  3.0 ,  - 1.0 ,  8.0 ],  ] ) # инициализируем вектор RHS b  =  np . array ( [ 6.0 ,  25.0 ,  - 11.0 ,  15.0 ])print ( " Система уравнений:" ) для  i  в  диапазоне ( A.shape [ 0 ]): row = [ f " { A [ i , j ] : 3g } *x { j + 1 } " для j в диапазоне ( A.shape [ 1 ] ) ] print ( "[ {0} ] = [ {1:3g} ]" .format ( " +" .join ( row ) , b [ i ] ))         x  =  np.zeros_like ( b , np.float_ ) для it_count в диапазоне ( 1 , ITERATION_LIMIT ) : x_new = np.zeros_like ( x , dtype = np.float_ ) print ( f " Итерация { it_count } : { x } " ) для i в диапазоне ( A.shape [ 0 ] ) : s1 = np.dot ( A [ i , : i ] , x_new [ : i ] ) s2 = np.dot ( A [ i , i + 1 : ] , x [ i + 1 : ] ) x_new [ i ] = ( b [ i ] -s1 - s2 ) / A [ i , i ] если np.allclose ( x , x_new , rtol = 1e - 8 ) : break x = x_new​​​                                                print ( f "Решение: { x } " ) error  =  np . dot ( A ,  x )  -  b print ( f "Ошибка: { error } " )

Производит вывод:

Система уравнений: [ 10*x1 + -1*x2 + 2*x3 + 0*x4] = [ 6] [ -1*x1 + 11*x2 + -1*x3 + 3*x4] = [ 25] [ 2*x1 + -1*x2 + 10*x3 + -1*x4] = [-11] [ 0*x1 + 3*x2 + -1*x3 + 8*x4] = [ 15] Итерация 1: [ 0. 0. 0. 0.] Итерация 2: [ 0.6 2.32727273 -0.98727273 0.87886364] Итерация 3: [ 1.03018182 2.03693802 -1.0144562 0.98434122] Итерация 4: [ 1,00658504 2,00355502 -1,00252738 0,99835095] Итерация 5: [ 1,00086098 2,00029825 -1,00030728 0,99984975] Итерация 6: [ 1,00009128 2,00002134 -1,00003115 0,9999881 ] Итерация 7: [ 1,00000836 2,00000117 -1,00000275 0,99999922] Итерация 8: [ 1,00000067 2,00000002 -1,00000021 0,99999996] Итерация 9: [ 1,00000004 1,99999999 -1,00000001 1. ] Итерация 10: [ 1. 2. -1. 1.] Решение: [ 1. 2. -1. 1.] Ошибка: [ 2,06480930e-08 -1,25551054e-08 3,61417563e-11 0,00000000e+00]

Следующий код использует формулу$${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}={\frac {1}{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum _{j<i}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum _{j>i}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right),\quad {\begin{array}{l}i=1,2,\ldots ,n\\k=0,1,2,\ldots \end{array}}}$$

функция  x = gauss_seidel ( A, b, x, iters ) для i = 1 : iters для j = 1 : размер ( A , 1 ) x ( j ) = ( b ( j ) - сумма ( A ( j ,:) ' .* x ) + A ( j , j ) * x ( j )) / A ( j , j ); конец, конец , конец                     

• Метод сопряженных градиентов
• Распространение гауссовского убеждения
• Итерационный метод: линейные системы
• Метод Качмажа («строчно-ориентированный» метод, тогда как Гаусс-Зейдель — «столбцово-ориентированный». См., например, эту статью.)
• Матричное расщепление
• итерация Ричардсона

• Гаусс, Карл Фридрих (1903), Werke (на немецком языке), том. 9, Геттинген: Köninglichen Gesellschaft der Wissenschaften.
• Голуб, Джин Х.; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор: Джонс Хопкинс, ISBN 978-0-8018-5414-9.
• Блэк, Ноэль и Мур, Ширли. «Метод Гаусса-Зейделя». MathWorld .

В данной статье использован текст из статьи Gauss-Seidel_method на CFD-Wiki, которая распространяется по лицензии GFDL .

• «Метод Зейделя», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Гаусс–Зейдель с www.math-linux.com
• Гаусс-Зейдель из Института целостных численных методов
• Итерация Гаусса Зиделя с сайта www.geocities.com
• Метод Гаусса-Зейделя
• Биксон
• Код Matlab
• Пример кода на языке С