Квадратура Гаусса–Лагерра

В численном анализе квадратура Гаусса–Лагерра (названная в честь Карла Фридриха Гаусса и Эдмона Лагерра ) является расширением метода квадратур Гаусса для приближения значения интегралов следующего вида:

∫ 0 + ∞ е − х ф ( х ) г х . {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx.}

В этом случае

∫ 0 + ∞ е − х ф ( х ) г х ≈ ∑ я = 1 н ж я ф ( х я ) {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})}

где x i — корень i -й степени полинома Лагерра L n ( x ), а вес w i определяется по формуле [1]

ж я = х я ( н + 1 ) 2 [ Л н + 1 ( х я ) ] 2 . {\displaystyle w_{i}={\frac {x_{i}}{\left(n+1\right)^{2}\left[L_{n+1}\left(x_{i}\right)\right]^{2}}}.}

Следующий код Python с библиотекой SymPy позволит вычислять значения и с точностью до 20 знаков: х я {\displaystyle x_{i}} ж я {\displaystyle w_{i}} 

из  симпи  импорт  *def  lag_weights_roots ( n ):  x  =  Symbol ( "x" )  roots  =  Poly ( laguerre ( n ,  x )) . all_roots ()  x_i  =  [ rt . evalf ( 20 )  для  rt  в  корнях ]  w_i  =  [( rt  /  (( n  +  1 )  *  laguerre ( n  +  1 ,  rt ))  **  2 ) . evalf ( 20 )  для  rt  в  корнях ]  return  x_i ,  w_iраспечатать ( lag_weights_roots ( 5 ))

Для более общих функций

Для интегрирования функции применим следующее преобразование ф {\displaystyle f}

∫ 0 ∞ ф ( х ) г х = ∫ 0 ∞ ф ( х ) е х е − х г х = ∫ 0 ∞ г ( х ) е − х г х {\displaystyle \int _{0}^{\infty}f(x)\,dx=\int _{0}^{\infty}f(x)e^{x}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty}g(x)e^{-x}\,dx}

где . Для последнего интеграла затем используется квадратура Гаусса-Лагерра. Обратите внимание, что хотя этот подход работает с аналитической точки зрения, он не всегда численно устойчив. г ( х ) := е х ф ( х ) {\displaystyle g\left(x\right):=e^{x}f\left(x\right)}

Обобщенная квадратура Гаусса–Лагерра

В более общем случае можно также рассматривать подынтегральные функции, имеющие известную степенную особенность при x = 0 для некоторого действительного числа , что приводит к интегралам вида: х α {\displaystyle x^{\альфа}} α > − 1 {\displaystyle \альфа >-1}

∫ 0 + ∞ х α е − х ф ( х ) г х . {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }x^{\alpha }e^{-x}f(x)\,dx.}

В этом случае веса задаются [2] в терминах обобщенных полиномов Лагерра :

ж я = Г ( н + α + 1 ) х я н ! ( н + 1 ) 2 [ Л н + 1 ( α ) ( х я ) ] 2 , {\displaystyle w_{i}={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)x_{i}}{n!(n+1)^{2}[L_{n+1}^{(\alpha )}(x_{i})]^{2}}}\,,}

где находятся корни . х я {\displaystyle x_{i}} Л н ( α ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha)}}

Это позволяет эффективно вычислять такие интегралы для полиномиальной или гладкой функции f ( x ), даже если α не является целым числом. [3]

Ссылки

  1. ^ Уравнение 25.4.45 в Abramowitz, M. ; Stegun, IA Handbook of Mathematical Functions . Dover . ISBN 978-0-486-61272-0.10-е переиздание с исправлениями.
  2. ^ Weisstein, Eric W., «Квадратура Лагерра-Гаусса» Из MathWorld--A Wolfram Web Resource, доступ 9 марта 2020 г.
  3. ^ Рабинович, П .; Вайс, Г. (1959). "Таблицы абсцисс и весов для численной оценки интегралов вида ∫ 0 ∞ exp ⁡ ( − x ) x n f ( x ) d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\exp(-x)x^{n}f(x)\,dx}". Математические таблицы и другие вспомогательные средства для вычислений . 13 : 285–294. doi : 10.1090/S0025-5718-1959-0107992-3 .

Дальнейшее чтение

  • Salzer, HE; ​​Zucker, R. (1949). «Таблица нулей и весовых множителей первых пятнадцати полиномов Лагерра». Бюллетень Американского математического общества . 55 (10): 1004–1012. doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09327-8 .
  • Concus, P.; Cassatt, D.; Jaehnig, G.; Melby, E. (1963). "Таблицы для оценки ∫ 0 ∞ x β exp ⁡ ( − x ) f ( x ) d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\beta }\exp(-x)f(x)\,dx} с помощью квадратуры Гаусса-Лагерра". Mathematics of Computation . 17 : 245–256. doi : 10.1090/S0025-5718-1963-0158534-9 .
  • Шао, ТС; Чен, ТС; Франк, РМ (1964). «Таблица нулей и гауссовых весов некоторых ассоциированных полиномов Лагерра и связанных с ними полиномов Эрмита». Математика вычислений . 18 (88): 598–616. doi : 10.1090/S0025-5718-1964-0166397-1 . JSTOR  2002946. MR  0166397.
  • Эрих, С. (2002). «О стратифицированных расширениях квадратурных формул Гаусса-Лагерра и Гаусса-Эрмита». Журнал вычислительной и прикладной математики . 140 (1–2): 291–299. doi :10.1016/S0377-0427(01)00407-1.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Квадратура_Гаусса–Лагерра&oldid=1208639752"