Последовательность Гебеля
Последовательность рациональных чисел

В математике последовательность Гебеля — это последовательность рациональных чисел, определяемая рекуррентным соотношением.

x n = x 0 2 + x 1 2 + ⋯ + x n − 1 2 n − 1 , {\displaystyle x_{n}={\frac {x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}}{n-1}},\!\,}

с начальной стоимостью

x 0 = x 1 = 1. {\displaystyle x_{0}=x_{1}=1.}

Последовательность Гебеля начинается с

1, 1, 2, 3, 5, 10, 28, 154, 3520, 1551880, ... (последовательность A003504 в OEIS )

Первое нецелое значение равно x 43 . [1]

История

Эта последовательность была разработана немецким математиком Фрицем Гёбелем в 1970-х годах. [2] В 1975 году голландский математик Хендрик Ленстра показал, что 43-й член не является целым числом. [2]

Обобщение

Последовательность Гебеля может быть обобщена до k- й степени с помощью

x n = x 0 k + x 1 k + ⋯ + x n − 1 k n . {\displaystyle x_{n}={\frac {x_{0}^{k}+x_{1}^{k}+\cdots +x_{n-1}^{k}}{n}}.}

Наименьшие индексы, при которых последовательности k -Гебеля принимают нецелое значение, равны

43, 89, 97, 214, 19, 239, 37, 79, 83, 239, ... (последовательность A108394 в OEIS )

Независимо от выбранного значения k , начальные 19 членов всегда являются целыми числами. [3] [2]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Гай, Ричард К. (1981). Нерешенные проблемы теории чисел . Springer New York. стр. 120. ISBN 978-1-4757-1740-2.
  2. ^ abc Stone, Alex (2023). «Удивительное поведение рекурсивных последовательностей». Журнал Quanta . Получено 17 ноября 2023 г.
  3. ^ Мацухира, Ринноске; Мацусака, Тошики; Цучида, Коки (19 июля 2023 г.). «Как долго последовательности k-гебеля могут оставаться целыми числами?». arXiv : 2307.09741 [math.NT].
  • Последовательность Гебеля
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Göbel%27s_sequence&oldid=1221730060"