Основная лемма (программа Ленглендса)

В математической теории автоморфных форм основная лемма связывает орбитальные интегралы на редуктивной группе над локальным полем со стабильными орбитальными интегралами на ее эндоскопических группах . ^{[ требуется пояснение ]} Она была выдвинута Робертом Ленглендсом  (1983) в ходе разработки программы Ленглендса . Основная лемма была доказана Жераром Лаумоном и Нго Бао Чау в случае унитарных групп , а затем Нго (2010) для общих редуктивных групп, основываясь на серии важных редукций, сделанных Жаном-Лу Вальдспуржем для случая алгебр Ли . Журнал Time поместил доказательство Нго в список «10 лучших научных открытий 2009 года». ^[1] В 2010 году Нго был награжден медалью Филдса за это доказательство.

Ленглендс изложил стратегию доказательства локальных и глобальных гипотез Ленглендса с использованием формулы следа Артура–Сельберга , но для того, чтобы этот подход работал, геометрические стороны формулы следа для разных групп должны быть связаны определенным образом. Эта связь принимает форму тождеств между орбитальными интегралами на редуктивных группах G и H над неархимедовым локальным полем F , где группа H , называемая эндоскопической группой G , строится из G и некоторых дополнительных данных.

Первый рассмотренный случай был (Labesse & Langlands 1979). Затем Langlands и Diana Shelstad  (1987) разработали общую структуру для теории эндоскопического переноса и сформулировали конкретные предположения. Однако в течение следующих двух десятилетий был достигнут лишь частичный прогресс в доказательстве фундаментальной леммы. ^{[2] [3]} Харрис назвал это «узким местом, ограничивающим прогресс по множеству арифметических вопросов». ^[4] Сам Langlands, писавший о происхождении эндоскопии, прокомментировал:${\displaystyle G={\rm {SL}}_{2}}$

... это не фундаментальная лемма как таковая, которая имеет решающее значение для аналитической теории автоморфных форм и для арифметики многообразий Шимуры ; это стабилизированная (или стабильная) формула следа, редукция самой формулы следа к стабильной формуле следа для группы и ее эндоскопических групп, и стабилизация формулы Гротендика–Лефшеца . Ни одно из них не было бы возможным без фундаментальной леммы, и ее отсутствие делало прогресс почти невозможным на протяжении более чем двадцати лет. ^[5]

Основная лемма утверждает, что орбитальный интеграл O для группы G равен стабильному орбитальному интегралу SO для эндоскопической группы H с точностью до коэффициента переноса Δ (Nadler 2012):

${\displaystyle SO_{\gamma _{H}}(1_{K_{H}})=\Delta (\gamma _{H},\gamma _{G})O_{\gamma _{G}}^{ \ каппа }(1_{K_{G}})}$

где

• F — локальное поле,
• G — неразветвленная группа, определенная над F , другими словами, квазирасщепляемая редуктивная группа, определенная над F , которая расщепляется над неразветвленным расширением F ,
• H — неразветвленная эндоскопическая группа G , связанная с κ,
• K _G и K _H являются гиперспециальными максимальными компактными подгруппами групп G и H , что примерно означает, что они являются подгруппами точек с коэффициентами в кольце целых чисел группы F ,
• 1 _{K G} и 1 _{K H} являются характеристическими функциями K _G и K _H ,
• Δ(γ _H ,γ _G ) — коэффициент передачи, некоторое элементарное выражение, зависящее от γ _H и γ _G ,
• γ _H и γ _G являются элементами G и H , представляющими классы устойчивой сопряженности, такие, что класс устойчивой сопряженности G является переносом класса устойчивой сопряженности H ,
• κ — характер группы классов сопряженности в классе стабильной сопряженности γ _G ,
• SO и O — стабильные орбитальные интегралы и орбитальные интегралы, зависящие от их параметров.

Шелстад (1982) доказал фундаментальную лемму для архимедовых полей.

Вальдспургер (1991) проверил фундаментальную лемму для общих линейных групп.

Коттвиц (1992) и Блазиус и Рогавски (1992) проверили некоторые случаи фундаментальной леммы для 3-мерных унитарных групп.

Хейлс (1997) и Вайссауэр (2009) проверили фундаментальную лемму для симплектических и общих симплектических групп Sp ₄ , GSp ₄ .

В статье Джорджа Люстига и Дэвида Каждана указывалось, что орбитальные интегралы можно интерпретировать как подсчет точек на определенных алгебраических многообразиях над конечными полями. Кроме того, рассматриваемые интегралы можно вычислить способом, который зависит только от поля вычетов F ; и вопрос можно свести к версии орбитальных интегралов алгебры Ли. Затем проблема была переформулирована в терминах волокна Спрингера алгебраических групп. ^[6] Круг идей был связан с гипотезой о чистоте ; Лаумон дал условное доказательство, основанное на такой гипотезе, для унитарных групп. Лаумон и Нго (2008) затем доказали фундаментальную лемму для унитарных групп, используя расслоение Хитчина , введенное Нго (2006), которое является абстрактным геометрическим аналогом системы Хитчина комплексной алгебраической геометрии. Вальдспургер (2006) показал для алгебр Ли, что случай поля функций влечет фундаментальную лемму над всеми локальными полями, а Вальдспургер (2008) показал, что фундаментальная лемма для алгебр Ли влечет фундаментальную лемму для групп.

• Блазиус, Дон; Рогавски, Джонатан Д. (1992), «Фундаментальные леммы для U(3) и связанных групп», в Langlands, Роберт П.; Рамакришнан, Динакар (ред.), Дзета-функции модулярных поверхностей Пикара , Монреаль, Квинсленд: Univ. Montréal, стр.  363–394 , ISBN 978-2-921120-08-1, г-н  1155234
• Кассельман, В. (2009), Основная лемма Ленглендса для SL(2) (PDF)
• Дат, Жан-Франсуа (ноябрь 2004 г.), Lemme Fondamental et Endoscopie, une Approche Géométrique, d'après Gérard Laumon et Ngô Bao Châu (PDF) , Séminaire Bourbaki , № 940
• Хейлз, Томас К. (1997), «Фундаментальная лемма для Sp(4)», Труды Американского математического общества , 125 (1): 301– 308, doi : 10.1090/S0002-9939-97-03546-6 , ISSN  0002-9939, MR  1346977
• Харрис, М. (редактор), Стабилизация формулы следов, разновидностей Шимуры и арифметических приложений , заархивировано из оригинала 20 апреля 2012 г. , получено 4 января 2012 г.
• Каждан, Дэвид; Люстиг, Джордж (1988), «Многообразия неподвижных точек на многообразиях аффинных флагов», Israel Journal of Mathematics , 62 (2): 129– 168, doi : 10.1007/BF02787119 , ISSN  0021-2172, MR  0947819
• Котвитц, Роберт Э. (1992), «Вычисление некоторых орбитальных интегралов», в Ленглендсе, Роберт П.; Рамакришнан, Динакар (ред.), Дзета-функции модульных поверхностей Пикара , Монреаль, QC: Univ. Монреаль, стр.  349–362 , ISBN. 978-2-921120-08-1, МР  1155233
• Лабесс, Жан-Пьер; Ленглендс, РП (1979), «L-неразличимость для SL(2)», Канадский журнал математики , 31 (4): 726–785 , doi : 10.4153/CJM-1979-070-3 , ISSN  0008-414X, MR  0540902, S2CID  17447242
• Ленглендс, Роберт П. (1983), Les débuts d'une Formula des Traces стабильные, Publications Mathématiques de l'Université Paris VII [Математические публикации Парижского университета VII], том. 13, Париж: Парижский университет VII UER de Mathématiques, MR  0697567
• Ленглендс, Роберт П.; Шелстад, Диана (1987), «Об определении факторов переноса», Mathematische Annalen , 278 (1): 219– 271, doi :10.1007/BF01458070, ISSN  0025-5831, MR  0909227, S2CID  14141632
• Лаумон, Жерар (2006), «Фундаментальные геометрические аспекты Ленглендса-Шелстада», Международный конгресс математиков. Том. II, Евр. Математика. Soc., Zürich, стр.  401–419 , MR  2275603, заархивировано из оригинала 15 марта 2012 г. , получено 9 января 2012 г.
• Ломон, Жерар; Нго, Бао Чау (2008), «Le lemmefoundation pour les groups unitaires», Annals of Mathematics , Second Series, 168 (2): 477–573 , arXiv : math/0404454 , doi :10.4007/annals.2008.168.477, ISSN  0003-486X, MR  2434884, S2CID  119606388
• Надлер, Дэвид (2012), «Геометрическая природа фундаментальной леммы», Бюллетень Американского математического общества , 49 : 1– 50, arXiv : 1009.1862 , doi : 10.1090/S0273-0979-2011-01342-8, ISSN  0002-9904, S2CID  30785271
• Нго, Бао Чау (2006), «Фибровочные волокна Хитчина и эндоскопия», Inventiones Mathematicae , 164 (2): 399– 453, arXiv : math/0406599 , Bibcode : 2006InMat.164..399N, doi : 10.1007/s00222-005-0483-7, ISSN  0020-9910, MR  2218781, S2CID  52064585
• Нго, Бао Чау (2010), «Фундаментальный фундамент для алгебры лжи», Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 111 : 1–169 , arXiv : 0801.0446 , doi : 10.1007/с10240-010-0026-7 , ISSN  0073-8301, МР  2653248
• Шелстад, Диана (1982), «L-неразличимость для действительных групп», Mathematische Annalen , 259 (3): 385– 430, doi :10.1007/BF01456950, ISSN  0025-5831, MR  0661206, S2CID  121385109
• Вальдспургер, Жан-Лу (1991), «Sur les Integrales Orbitales Tordues pour les Groupes linéaires: un lemme Fondamental», Canadian Journal of Mathematics , 43 (4): 852–896 , doi : 10.4153/CJM-1991-049-5 , ISSN  0008-414Х, МР  1127034
• Вальдспургер, Жан-Лу (2006), «Эндоскопия и изменение характеристик», Журнал Института математики Жюсье , 5 (3): 423–525 , doi : 10.1017/S1474748006000041 (неактивен 9 января 2025 г.), ISSN  1474- 7480, МР  2241929, S2CID  122919302{{citation}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на январь 2025 г. ( ссылка )
• Waldspurger, Jean-Loup (2008), "L'endoscopie tordue n'est pass si tordue" [Извращенная эндоскопия не такая уж извращенная] (PDF) , Мемуары Американского математического общества (на французском), 194 (908), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 261, doi : 10.1090/memo/0908, ISBN 978-0-8218-4469-4, ISSN  0065-9266, MR  2418405
• Вайссауэр, Райнер (2009), Эндоскопия для GSP(4) и когомологии модульных трехмерных многообразий Зигеля , Lecture Notes in Mathematics, т. 1968, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-540-89306-6, ISBN 978-3-540-89305-9, г-н  2498783

• Лекция Жерара Лаумона об основной лемме для унитарных групп
• Баскен, Пол (12 сентября 2010 г.). «Понимание фундаментальной леммы Ленглендса». Хроника высшего образования .