Гипотеза Фугледе

Гипотеза Фугледа — это открытая проблема в математике, предложенная Бентом Фугледом в 1974 году. Она утверждает, что каждая область (т. е. подмножество с положительной конечной мерой Лебега ) является спектральным множеством тогда и только тогда, когда она мозаична с помощью переноса . ^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Спектральные наборы в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Множество с положительной конечной мерой Лебега называется спектральным множеством, если существует такое , что является ортогональным базисом . Тогда множество называется спектром и называется спектральной парой.${\displaystyle \Омега}$ ${\displaystyle \subset}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \Лямбда}$ ${\displaystyle \subset}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \left\{e^{2\pi i\left\langle \lambda ,\cdot \right\rangle }\right\}_{\lambda \in \Lambda }}$${\displaystyle L^{2}(\Омега)}$${\displaystyle \Лямбда}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle (\Омега,\Лямбда)}$

Трансляционные плитки ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Говорят, что набор замощен путем переноса (т.е. является трансляционной плиткой), если существует дискретный набор такой, что и мера Лебега равна нулю для всех из . ^[2]${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle \mathrm {T} }$${\displaystyle \bigcup _{t\in \mathrm {T} }(\Omega +t)=\mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle (\Омега +т)\cap (\Омега +т')}$${\displaystyle t\neq t'}$${\displaystyle \mathrm {T} }$

• В 1974 году Фугледе доказал, что гипотеза верна, если — фундаментальная область решетки .${\displaystyle \Омега}$
• В 2003 году Алекс Иосевич, Нетс Кац и Теренс Тао доказали, что гипотеза верна, если — выпуклая плоская область. ^[3]${\displaystyle \Омега}$
• В 2004 году Теренс Тао показал, что гипотеза ложна для . ^[4] Позднее Балинт Фаркаш, Михаил Н. Колоунзакис, Мате Матольчи и Петер Мора показали, что гипотеза также ложна для и . ^{[5] [6] [7] [8]} Однако гипотеза остаётся неизвестной для .${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle d\geq 5}$${\displaystyle d=3}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle d=1,2}$
• В 2015 году Алекс Иосевич, Азита Майели и Джонатан Пакианатан показали, что расширение гипотезы справедливо в , где — циклическая группа порядка p. ^[9]${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$
• В 2017 году Рэйчел Гринфельд и Нир Лев доказали гипотезу для выпуклых многогранников в . ^[10]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• В 2019 году Нир Лев и Мате Матолчи утвердительно подтвердили гипотезу для выпуклых областей во всех измерениях. ^[11]