ковариант Фробениуса

В теории матриц коварианты Фробениуса квадратной матрицы $A$ являются ее специальными многочленами, а именно проекционными матрицами A _{i ,} связанными с собственными значениями и собственными векторами матрицы $A$ . ^[1]^{: с.403, 437–8} Они названы в честь математика Фердинанда Фробениуса .

Каждый ковариант является проекцией на собственное пространство, связанное с собственным значением $λ i$ . Коварианты Фробениуса являются коэффициентами формулы Сильвестра , которая выражает функцию матрицы $f (A)$ как матричный полином, а именно линейную комбинацию значений этой функции на собственных значениях $A$ .

Формальное определение

Пусть $A$ — диагонализируемая матрица с собственными значениями λ ₁ , ..., λ _k .

Ковариант Фробениуса $A i$ , для i = 1,..., k , — это матрица

A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}(A-\lambda _{j}I)~.

По сути, это многочлен Лагранжа с матричным аргументом. Если собственное значение λ _i простое, то как идемпотентная матрица проекции на одномерное подпространство, $A i$ имеет единичный след .

Вычисление ковариантов

Фердинанд Георг Фробениус (1849–1917), немецкий математик. Его основными интересами были дифференциальные уравнения эллиптических функций , а позднее теория групп .

Коварианты Фробениуса матрицы $A$ могут быть получены из любого собственного разложения $A = SDS -1$ , где $S$ невырожденная, а $D$ диагональная с $D i, i = λ i$ . Если $A$ не имеет кратных собственных значений, то пусть c _i будет $i-$ м правым собственным вектором $A$ , то есть $i$ -м столбцом $S$ ; и пусть r _i будет i $-$ м левым собственным вектором $A$ , то есть $i$ -й строкой $S$ ⁻¹ . Тогда $A i = c i r i$ .

Если $A$ имеет собственное значение λ _{i ,} встречающееся несколько раз, то $A i = Σ j c j r j$ , где сумма берется по всем строкам и столбцам, связанным с собственным значением λ _i . ^[1]^{: стр.521}