Спектральная теорема Фрейденталя

В математике спектральная теорема Фрейденталя является результатом теории пространств Рисса, доказанным Гансом Фрейденталем в 1936 году. Она грубо утверждает, что любой элемент, над которым доминирует положительный элемент в пространстве Рисса со свойством главной проекции, может быть в некотором смысле равномерно аппроксимирован простыми функциями .

Многочисленные известные результаты могут быть получены из спектральной теоремы Фрейденталя. Известная теорема Радона–Никодима , справедливость формулы Пуассона и спектральная теорема из теории нормальных операторов могут быть показаны как частные случаи спектральной теоремы Фрейденталя.

Пусть e — любой положительный элемент в пространстве Рисса E. Положительный элемент p в E называется компонентой e , если . Если — попарно непересекающиеся компоненты e , то любая действительная линейная комбинация называется e -простой функцией.${\displaystyle p\клин (ep)=0}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$

Спектральная теорема Фрейденталя гласит: Пусть E — любое пространство Рисса со свойством главной проекции, а e — любой положительный элемент в E. Тогда для любого элемента f в главном идеале, порожденном e , существуют последовательности и e -простых функций, такие, что монотонно возрастает и e -равномерно сходится к f , и монотонно убывает и e -равномерно сходится к f .${\displaystyle \{s_{n}\}}$${\displaystyle \{t_{n}\}}$${\displaystyle \{s_{n}\}}$${\displaystyle \{t_{n}\}}$

Пусть будет мерным пространством и действительным пространством знаковых -аддитивных мер на . Можно показать, что является полной банаховой решеткой Дедекинда с полной вариационной нормой , и, следовательно, имеет главное проекционное свойство . Для любой положительной меры , -простые функции (как определено выше) можно показать, что они в точности соответствуют -измеримым простым функциям на (в обычном смысле). Более того, поскольку по спектральной теореме Фрейденталя любая мера в полосе, порожденной , может быть монотонно аппроксимирована снизу -измеримыми простыми функциями на , по теореме Лебега о монотонной сходимости можно показать, что она соответствует функции и устанавливает изометрический решеточный изоморфизм между полосой, порожденной , и банаховой решеткой .${\displaystyle (X,\Сигма)}$${\displaystyle M_{\сигма}}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle (X,\Сигма)}$${\displaystyle M_{\сигма}}$ ${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle (X,\Сигма)}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle (X,\Сигма)}$ ${\displaystyle \nu}$${\displaystyle L^{1}(X,\Sigma,\mu)}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle L^{1}(X,\Sigma,\mu)}$

• Теорема Радона–Никодима

• Заанен, Адриан К. (1996), Введение в теорию операторов в пространствах Рисса , Springer , ISBN 3-540-61989-5
• Заанен, Адриан К.; Люксембург, WAJ (1971), пространства Рисса I , Северная Голландия , ISBN 0-7204-2451-8