Фильтр прототипа
Шаблон для проектирования электронного фильтра

Фильтры-прототипы — это электронные конструкции фильтров, которые используются в качестве шаблона для создания модифицированной конструкции фильтра для конкретного применения. Они являются примером неразмерной конструкции, из которой желаемый фильтр может быть масштабирован или преобразован . Чаще всего они встречаются в электронных фильтрах и особенно в линейных аналоговых пассивных фильтрах . Однако, в принципе, этот метод может быть применен к любому виду линейного фильтра или обработки сигнала , включая механические, акустические и оптические фильтры.

Фильтры должны работать на многих различных частотах , сопротивлениях и полосах пропускания . Полезность прототипного фильтра исходит из того свойства, что все эти другие фильтры могут быть получены из него путем применения масштабного коэффициента к компонентам прототипа. Таким образом, проектирование фильтра должно быть выполнено только один раз полностью, а другие фильтры будут получены путем простого применения масштабного коэффициента.

Особенно полезна возможность преобразования из одной формы полосы в другую. В этом случае преобразование — это больше, чем простой масштабный коэффициент. Форма полосы здесь означает указание категории полосы пропускания , которой обладает фильтр. Обычные формы полосы — это lowpass , highpass , bandpass и bandstop , но возможны и другие. В частности, фильтр может иметь несколько полос пропускания. Фактически, в некоторых обработках фильтр - заграждение рассматривается как тип многополосного фильтра, имеющего две полосы пропускания. Чаще всего прототип фильтра выражается как фильтр нижних частот, но возможны и другие методы.

Прототип фильтра нижних частот с константой k Π (pi)
Части этой статьи или раздела полагаются на знание читателем представления комплексного импеданса конденсаторов и катушек индуктивности , а также на знание представления сигналов в частотной области .

Низкочастотный прототип

Прототипом чаще всего является фильтр нижних частот с угловой частотой 3 дБ угловой частоты ω c ′ = 1  рад/с . Иногда вместо ω c ′ = 1 используется частота f ′ = 1  Гц . Аналогично, номинальное или характеристическое сопротивление фильтра устанавливается равным R ′ = 1 Ом.

В принципе, любая ненулевая точка частоты на отклике фильтра может быть использована в качестве опорной для разработки прототипа. Например, для фильтров с пульсацией в полосе пропускания угловая частота обычно определяется как самая высокая частота при максимальной пульсации, а не 3 дБ. Другой случай — фильтры параметров изображения (более старый метод проектирования, чем более современные фильтры сетевого синтеза ), которые используют частоту среза, а не точку 3 дБ, поскольку срез является четко определенной точкой в ​​этом типе фильтра.

Фильтр-прототип может быть использован только для создания других фильтров того же класса [n 1] и порядка. [n 2] Например, прототип фильтра Бесселя пятого порядка может быть преобразован в любой другой фильтр Бесселя пятого порядка, но его нельзя преобразовать в фильтр Бесселя третьего порядка или фильтр Чебышева пятого порядка .

Пассивный сосредоточенный прототип фильтра нижних частот пятого порядка с Т-топологией может иметь реактивное сопротивление :

+1jОм -0,64jОм +2jОм -0,64jОм +1jОм (пример)

Чтобы преобразовать их в 50 Ом, умножьте данные значения на 50. Чтобы получить значение детали, преобразуйте его в желаемую частоту среза (частоту сопряжения). Пример: сопротивление должно быть 75 Ом, а частота сопряжения должна быть 2 МГц.

+75ДжОм -48ДжОм +150ДжОм -48ДжОм +75ДжОм6мкГн 1,66нФ 12мкГн 1,66нФ 6мкГн

Типы фильтров с регулируемой пульсацией нелегко свести в таблицу, поскольку они зависят не только от импеданса и частоты.

Масштабирование частоты

Фильтр-прототип масштабируется до требуемой частоты с помощью следующего преобразования:

я ω → ( ω с ′ ω с ) я ω {\displaystyle i\omega \to \left({\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\right)i\omega }

где ω c ′ — значение частотного параметра (например, частота среза) для прототипа, а ω c — искомое значение. Таким образом, если ω c ′ = 1, то передаточная функция фильтра преобразуется как:

А ( я ω ) → А ( я ω ω с ) {\displaystyle A(i\omega )\to A\left(i{\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right)}

Легко видеть, что для достижения этого нерезистивные компоненты фильтра должны быть преобразованы следующим образом:

Л → ω с ′ ω с Л {\displaystyle L\to {\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,L}   и,    С → ω с ′ ω с С {\displaystyle C\to {\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,C}

Масштабирование импеданса

Масштабирование импеданса неизменно является масштабированием к фиксированному сопротивлению. Это происходит потому, что окончания фильтра, по крайней мере номинально, принимаются как фиксированное сопротивление. Для выполнения этого масштабирования к номинальному импедансу R каждый элемент импеданса фильтра преобразуется следующим образом:

З → Р Р ′ З {\displaystyle Z\to {\frac {R}{R'}}\,Z}

Для некоторых элементов может быть удобнее масштабировать допуск:

И → Р ′ Р И {\displaystyle Y\to {\frac {R'}{R}}\,Y}

Прототип фильтра выше, преобразованный в фильтр нижних частот 600 Ом, 16 кГц

Легко видеть, что для достижения этого нерезистивные компоненты фильтра должны быть масштабированы следующим образом:

Л → Р Р ′ Л {\displaystyle L\to {\frac {R}{R'}}\,L}    и,     С → Р ′ Р С {\displaystyle C\to {\frac {R'}{R}}\,C}

Масштабирование импеданса само по себе не влияет на передаточную функцию фильтра (при условии, что к оконечным импедансам применено то же масштабирование). Однако обычно масштабирование частоты и импеданса объединяют в один шаг: [1]

Л → ω с ′ ω с Р Р ′ Л {\displaystyle L\to \,{\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,{\frac {R}{R'}}\,L}   и,    С → ω с ′ ω с Р ′ Р С {\displaystyle C\to \,{\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,{\frac {R'}{R}}\,C}

Трансформация полос

В общем случае форма полосы фильтра преобразуется путем замены iω там, где она встречается в передаточной функции, на функцию iω . Это, в свою очередь, приводит к преобразованию компонентов импеданса фильтра в некоторые другие компоненты. Масштабирование частоты выше является тривиальным случаем преобразования формы полосы, соответствующим преобразованию нижних частот в нижние частоты.

Фильтр нижних частот в фильтр верхних частот

Требуемое в этом случае преобразование частоты: [2]

я ω ω с ′ → ω с я ω {\displaystyle {\frac {i\omega }{\omega _{\text{c}}'}}\to {\frac {\omega _{\text{c}}}{i\omega }}}

где ω c — точка на фильтре верхних частот, соответствующая ω c ′ на прототипе. Затем передаточная функция преобразуется как:

А ( я ω ) → А ( ω с ω с ′ я ω ) {\displaystyle A(i\omega )\to A\left({\frac {\omega _{\text{c}}\,\omega _{\text{c}}'}{i\omega }}\right)}

Индукторы преобразуются в конденсаторы по следующей схеме:

Л ′ → С = 1 ω с ω с ′ Л ′ {\displaystyle L'\to C={\frac {1}{\omega _{\text{c}}\,\omega _{\text{c}}'\,L'}}}

и конденсаторы преобразуются в индукторы,

С ′ → Л = 1 ω с ω с ′ С ′ {\displaystyle C'\to L={\frac {1}{\omega _{\text{c}}\,\omega _{\text{c}}'\,C'}}}

заштрихованные величины представляют собой значение компонента в прототипе.

Низкочастотный в полосовой

В этом случае требуемое преобразование частоты равно: [3]

я ω ω с ′ → В ( я ω ω 0 + ω 0 я ω ) {\displaystyle {\frac {i\omega }{\omega _{\text{c}}'}}\to Q\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)}

где Q — добротность, равная обратной величине дробной ширины полосы пропускания: [4]

В = ω 0 Δ ω {\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{\Delta \omega }}}

Если ω 1 и ω 2 являются нижней и верхней частотными точками (соответственно) полосовой характеристики, соответствующей ω c ′ прототипа, то,

Δ ω = ω 2 − ω 1 {\displaystyle \Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\,}    и     ω 0 = ω 1 ω 2 {\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\omega _{1}\omega _{2}}}}

Δ ω — абсолютная полоса пропускания, а ω 0 — резонансная частота резонаторов в фильтре. Обратите внимание, что масштабирование частоты прототипа до преобразования нижних частот в полосовые не влияет на резонансную частоту, но вместо этого влияет на конечную полосу пропускания фильтра.

Передаточная функция фильтра преобразуется по формуле:

A ( i ω ) → A ( ω c ′ Q [ i ω ω 0 + ω 0 i ω ] ) {\displaystyle A(i\omega )\to A\left(\omega _{\text{c}}'Q\left[{\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right]\right)}

Прототип фильтра выше, преобразованный в полосовой фильтр 50 Ом, 6 МГц с полосой пропускания 100 кГц

Индукторы преобразуются в последовательные резонаторы ,

L ′ → L = ω c ′ Q ω 0 L ′ , C = 1 ω 0 ω c ′ Q 1 L ′ {\displaystyle L'\to L={\frac {\omega _{\text{c}}'Q}{\omega _{0}}}L'\,,\,C={\frac {1}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'Q}}{\frac {1}{L'}}}

и конденсаторы преобразуются в параллельные резонаторы,

C ′ → C = ω c ′ Q ω 0 C ′ ‖ L = 1 ω 0 ω c ′ Q 1 C ′ {\displaystyle C'\to C={\frac {\omega _{c}'Q}{\omega _{0}}}C'\,\lVert \,L={\frac {1}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'Q}}{\frac {1}{C'}}}

Фильтр нижних частот для заграждения

Требуемое преобразование частоты для фильтра нижних частот в режекторный фильтр: [5]

ω c ′ i ω → Q ( i ω ω 0 + ω 0 i ω ) {\displaystyle {\frac {\omega _{\text{c}}'}{i\omega }}\to Q\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\dfrac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)}

Индукторы преобразуются в параллельные резонаторы,

L ′ → L = ω c ′ ω 0 Q L ′ ‖ C = Q ω 0 ω c ′ 1 L ′ {\displaystyle L'\to L={\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{0}Q}}L'\,\lVert \,C={\frac {Q}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'}}{\frac {1}{L'}}}

и конденсаторы преобразуются в последовательные резонаторы,

C ′ → C = ω c ′ ω 0 Q C ′ , L = Q ω 0 ω c ′ 1 C ′ {\displaystyle C'\to C={\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{0}Q}}C'\,,\,L={\frac {Q}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'}}{\frac {1}{C'}}}

Низкочастотный в многополосный

Фильтры с несколькими полосами пропускания можно получить, применив общее преобразование:

ω c ′ i ω → 1 Q 1 ( i ω ω 01 + ω 01 i ω ) + 1 Q 2 ( i ω ω 02 + ω 02 i ω ) + ⋯ {\displaystyle {\frac {\omega _{\text{c}}'}{i\omega }}\to {\dfrac {1}{Q_{1}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{01}}}+{\dfrac {\omega _{01}}{i\omega }}\right)}}+{\dfrac {1}{Q_{2}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{02}}}+{\dfrac {\omega _{02}}{i\omega }}\right)}}+\cdots }

Число резонаторов в выражении соответствует числу требуемых полос пропускания. Фильтры нижних и верхних частот можно рассматривать как частные случаи выражения резонатора, при этом один или другой член может быть обращен в ноль по мере необходимости. Фильтры заграждения можно рассматривать как комбинацию фильтра нижних и верхних частот. Несколько фильтров заграждения всегда можно выразить через фильтр с несколькими полосами пропускания. Таким образом, можно увидеть, что это преобразование представляет собой общий случай для любой формы полосы, а все остальные преобразования следует рассматривать как его частные случаи.

Тот же ответ может быть эквивалентно получен, иногда с более удобной топологией компонента, путем преобразования в несколько полос заграждения вместо нескольких полос пропускания. Требуемое преобразование в этих случаях:

i ω ω c ′ → 1 Q 1 ( i ω ω 01 + ω 01 i ω ) + 1 Q 2 ( i ω ω 02 + ω 02 i ω ) + ⋯ {\displaystyle {\frac {i\omega }{\omega _{c}'}}\to {\dfrac {1}{Q_{1}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{01}}}+{\dfrac {\omega _{01}}{i\omega }}\right)}}+{\dfrac {1}{Q_{2}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{02}}}+{\dfrac {\omega _{02}}{i\omega }}\right)}}+\cdots }

Альтернативный прототип

В своей трактовке фильтров изображений Зобель предоставил альтернативную основу для построения прототипа, который не основан на частотной области . [6] Прототипы Зобеля, таким образом, не соответствуют какой-либо конкретной форме полосы, но они могут быть преобразованы в любую из них. Не придавая особого значения какой-либо одной форме полосы, метод становится более математически приятным; однако, он не является общепринятым.

Прототип Zobel рассматривает секции фильтра, а не компоненты. То есть преобразование выполняется на двухпортовой сети, а не на двухконтактной катушке индуктивности или конденсаторе. Передаточная функция выражается через произведение последовательного импеданса Z и шунтирующей проводимости Y полусекции фильтра. Описание полусекций см. в статье Импеданс изображения . Эта величина безразмерна , что добавляет общности прототипу. Как правило, ZY является комплексной величиной,

Z Y = U + i V {\displaystyle ZY=U+iV\,\!} и поскольку U и V , в общем случае, являются функциями ω, мы должны правильно записать,

Z Y = U ( ω ) + i V ( ω ) {\displaystyle ZY=U(\omega )+iV(\omega )}

С помощью фильтров изображений можно получить фильтры разных классов из прототипа фильтра с константой k с помощью другого вида преобразования (см. композитный фильтр изображения ), где константа k — это те фильтры, для которых Z/Y является константой. По этой причине фильтры всех классов задаются в терминах U(ω) для константы k, которая обозначается как,

Z Y = U k ( ω ) + i V k ( ω ) {\displaystyle ZY=U_{k}(\omega )+iV_{k}(\omega )}

В случае сетей без рассеивания, т.е. без резисторов, величина V ( ω ) равна нулю, и необходимо учитывать только U ( ω ). U k ( ω ) изменяется от 0 в центре полосы пропускания до −1 на частоте среза , а затем продолжает отрицательно увеличиваться в полосе задерживания независимо от формы полосы проектируемого фильтра. Для получения требуемой формы полосы используются следующие преобразования:

Для прототипа фильтра нижних частот с постоянной k, который масштабируется:

R 0 = 1 , ω c = 1 {\displaystyle R_{0}=1\,,\,\omega _{\text{c}}=1}

независимая переменная графика отклика — это

U k ( ω ) = − ω 2 {\displaystyle U_{k}(\omega )=-\omega ^{2}\,\!}

Преобразования полос этого прототипа следующие:

для нижних частот, U k ( ω ) → ( i ω ω c ) 2 {\displaystyle U_{k}(\omega )\to \left({\frac {i\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right)^{2}}

для верхних частот, U k ( ω ) → ( ω c i ω ) 2 {\displaystyle U_{k}(\omega )\to \left({\frac {\omega _{\text{c}}}{i\omega }}\right)^{2}}

и для полосы пропускания, U k ( ω ) → Q 2 ( i ω ω 0 + ω 0 i ω ) 2 {\displaystyle U_{k}(\omega )\to Q^{2}\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)^{2}}

Смотрите также

Полосы фильтра : см., фильтр нижних частот , фильтр верхних частот , полосовой фильтр , режекторный фильтр .

Сноски

  1. ^ Класс фильтра — это математический класс полиномов в рациональной функции , которые описывают его передаточную функцию . Фильтры параметров изображения не являются рациональными и, следовательно, не имеют полиномиального класса. Такие фильтры классифицируются по типу ( k-тип , m-тип и т. д.). Тип служит именем класса для фильтров изображений и основан на топологии схемы фильтра.
  2. ^ Порядок фильтра — это порядок рациональной функции фильтра. Рациональная функция — это отношение двух полиномов , а порядок функции — это порядок полинома наивысшего порядка. Любой фильтр, построенный из конечного числа дискретных элементов, будет описываться рациональной функцией, и в общем случае порядок будет равен числу используемых реактивных элементов.

Ссылки

  1. ^ Маттеи и др. , стр. 96–97.
  2. ^ Маттеи и др. , стр. 412–413.
  3. ^ Маттеи и др. , стр. 438–440.
  4. ↑ Фараго, стр. 69.
  5. ^ Маттеи и др. , стр. 727–729.
  6. ↑ Цобель, 1930, стр. 3.

Библиография

  • Зобель, О. Дж., «Теория и проектирование однородных и составных электрических волновых фильтров», Bell System Technical Journal , т. 2 (1923), стр. 1–46.
  • Zobel, OJ, «Электрические волновые фильтры», патент США 1 850 146, подан 25 ноября 1930 г., выдан 22 марта 1932 г. Дает много полезных формул и нечастотную основу для определения прототипов.
  • Маттеи, Янг, Джонс Микроволновые фильтры, сети согласования импеданса и структуры связи McGraw-Hill 1964.
  • Фараго, П.С., Введение в линейный сетевой анализ , English Universities Press, 1961.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Prototype_filter&oldid=1229946641#Bandform_transformation"